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Mein Skript definiert die notwendige Bedingung für lokale Extrema so:
f: I -> IR besitzt in einem inneren Punkt x0 € I ein lokales Extrema und f ist in x0 diffbar => f'(x0) = 0.
Die hinreichende Bedingung für lokale Extrema definiert es so:
f: (a,b) -> IR mit f diffbar, f im Punkt x0 € (a,b) zweimal diffbar, f'(x0) = 0 und f''(x0) > 0 => f hat in x0 ein lokales Minimum.
Jetzt stellt sich mir die Frage, ob man die hinreichende Bedingung auch so definieren kann wie die notwendige, also nur über ein Intervall und einen inneren Punkt und nicht gezwungenermaßen über ein offenes Intervall. Oder muss in der hinreichenden Bedingung das Intervall offen sein, damit der Satz gilt?
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Von der Frage mal abgesehen: Beachte die Begrifflichkeiten. Bedingungen werden nicht definiert, sondern hergeleitet (aus der Def. von Extrema, die ist aber eine ganz andere). Eine Def. führt einen neuen(!) Begriff ein.
Und die o.g. Bedingungen sind in beiden Fällen nicht "die" Bedingung, sondern eine. Es gibt mehrere notwendige und mehrere hinreichende Bedingungen für Extrema.
Deine Frage müsste korrekt lauten: Kann man EINE hinreichende Bedingung auch so FORMULIEREN wie...
  ─   mikn 12.09.2022 um 21:55
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Weiterführend zu meinem Kommentar zu den Begrifflichkeiten:

Ja, man kann das so formulieren. Also: Sei $I$ Intervall, $x_0\in I$ innerer Punkt mit $f'(x_0)=0, f''(x_0)>0$. Dann hat $f$ in $x_0$ ein lokales Minimum.
Beweis: Es gibt $h>0$ mit $(x_0-h,x_0+h)\subseteq I$. Wende dann die hinreichende Bedingung aus Deiner Frage an auf $(a,b)=(x_0-h,x_0+h)$, fertig.

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Die hinreichende und notwendige Bedingungen klappen nur für offene Mengen (abgeschlossene Mengen ist im allgemeinen viel schwieriger,  z.B. Lagrange Multiplikatoren, im eindimensionalen es geht natürlich leicht mit Rand ausprobieren), schaue dazu gerne im Beweis an welcher Stelle man das braucht. Die notwendige Bedingung ist natürlich schlecht formuliert, das Innere von \([a,b]\) ist natürlich \((a,b)\)
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