Aufstellen einer Funktionsgleichung 3. Grades

Aufrufe: 847     Aktiv: 12.08.2021 um 10:02
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Hey Hey, ich benötige etwas Hilfe bei folgender Aufgabe und hoffe das mir hier jemand helfen kann.

Gegeben seien die Punkte 𝑃(2|5,25) und 𝑄(−4| − 12). Bestimme die Gleichung einer zu 𝑂(0|0) symmetrischen Parabel 3. Ordnung, welche durch die Punkte 𝑃 und 𝑄 verläuft.

Meine Idee wäre beide Punkte in die Normalform (ax(3)+bx(2)+cx+d) einzusetzen und von diesen dann jeweils noch die 1. Ableitung zu nutzen um auf 4 Gleichungen zu kommen. 

Meine 4 Gleichungen wären somit:

I. 8a + 4b + 2c + d = 5,25
II. -64a + 16b - 4c + d = -12
III. 12a + 4b +c = 0
IV. 48a - 8b + c = 0

Leider komme ich nun nicht so ganz weiter, da ich keine Möglichkeit sehe diese miteinander zu subtrahieren. 

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Das Stichwort ist die Punktsymmetrie zum Ursprung, also ist die Funktion der Form \(f(x)=ax^3+bx\)
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Student, Punkte: 10.87K

 

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Wenn Du nicht weißt oder gerade vergessen hast, dass bei punktsymmetrischen Funktionen die geradzahligen Potenzen von $x$ wegfallen, dann kannst Du das so machen:

Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung sind zwei weitere Punkte gegeben, nämlich $P_2(-2|-5,25)$ sowie $Q_2(4|12)$.
Damit kommt bei entsprechendem Ansatz für die insgesamt vier Punkte $b=0$ und $d=0$ heraus.

Alternativ kannst Du auch überlegen, dass die Funktion aufgrund der Punktsymmetrie durch den Punkt $(0|0)$ verlaufen muss. Damit kann eine der beiden vorher genannten Gleichungen ersetzt werden.

(Ergänzung: Und weil die Punkte $P$ und $Q$ keine Extrempunkte sind, kommst Du mit der Ableitung nicht weiter)
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort!

Wenn ich nun in die Normalform ax(3)+cx alle vier Punkte einsetze komme ich auf folgende Gleichungen:
I. 8a+2c=5,25
II. -64a-4c=-12
III. -8a-2c=-5,25
IV. 64a+4c=12

Nun bin ich mir aber nicht sicher wie es weiter gehen soll. :/ Müsste ich nun mithilfe einer Tabelle die Gleichungen voneinander dividieren?   ─   simon.math 12.08.2021 um 09:07
ENTWEDER du nutzt die Formel, in die die Symmetrie bereits eingebaut ist ODER du verwendest die weiteren symmetrischen Punkte. Machst du beides, bekommst du zwei Paare gleicher Gleichungen (multipliziere die erste mit (-1) und du bekommst die dritte). Du brauchst für 2 Unbekannte auch nur 2 Gleichungen.
Also kannst du III und IV rauswerfen und mit I und II z.B. das Additionsverfahren anwenden,   ─   monimust 12.08.2021 um 09:25
Ich hatte ja meine Antwort damit angefangen, dass man nicht(!) weiß, dass $bx^2$ und $d$ wegfallen.
Du bekommst dann in der Normalform z.B.
8a + 4b + 2c + d = 5,25
und
-8a + 4b - 2c + d = - 5,25

(Du hast die "punktsymmetrische Normalform" verwendet - Achtung: kein Fachbegriff, so weit ich weiß, sondern meine spontane Erfindung)

Wenn Du diese beiden Zeilen addierst, bleibt 8b+2d=0 übrig.
Bei den beiden anderen Gleichungen passiert ähnliches und mit beiden Gleichungen zusammen erhältst du b=d=0, also dass b und d wegfallen.

Dann hast Du immer noch die zwei ursprünglichen Gleichungen der beiden Punkte, mit denen Du a und c bestimmen kannst.

An irgendeiner Stelle musst Du die Punktsymmetrie benutzen, weil Du sonst zu wenige Informationen hast.   ─   joergwausw 12.08.2021 um 10:02

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