Kann ein "<" ein Widerspruch zu einem "<=" sein?

Erste Frage Aufrufe: 47     Aktiv: 29.06.2021 um 12:07

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Ich bin mir gerade sehr unsicher. Mal angenommen, man hat irgendwo eine Definition, die sagt "a <= b" für alle x,y.
Jetzt findet man aber einen Fall, in dem a < b gilt. Ist das dann ein Widerspruch?

Anders formuliert: Muss ein "<=" oder ein ">=" immer einen Fall einer Gleichheit mit beinhalten, wenn das Vergleichszeichen in einer Definition gegeben ist bzw. verwendet wird, oder bedeutet es wirklich nur, dass es einen gleichen Fall geben kann aber nicht muss?

Beispiel: Dreiecksungleichung Betrag

Wir wissen |x+y| <= |x|+|y| für alle x,y in R zum Beispiel. In der Aufgabe soll gelten, dass |x+y| <= b ist. (b ist irgendein anderer Ausruck).

Jetzt finden wir heraus, dass b < |x|+|y| ist, womit ja auch |x+y| < |x|+|y| sein müsste, wenn b nicht kleiner als |x-y| sein soll.
Würde das jetzt bedeuten, dass "|x+y| <= b" nicht wahr ist, weil |x+y| < |x|+|y| der Dreiecksungleichung widerspricht oder nicht?
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Du hast die Ungleichung falsch rum, es ist $|x|-|y|\leq |x-y|$. Damit erhälst du also $b<|x|-|y|<|x-y|\leq b$ und das ist ein Widerspruch, da insgesamt $b<b$ dasteht.
Aber um deine eigentliche Frage zu beantworten: Nein, es ist kein Widerspruch, wenn im Allgemeinen $\leq$ gilt und in deinem speziellen Fall $<$. Zum Beispiel ist $x^2\geq 0$ für $x\in\mathbb R$ eine allgemein gültige Aussage, und es ist kein Widerspruch, dass diese Ungleichung für $x=1$ strikt ist.
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Oh, da habe ich mich wohl verschrieben. Habe das nochmal bearbeitet. Keine Ahnung, wieso ich überall "-" geschrieben habe.
Aber trotzdem danke für die Antwort. Dann kann ich das leider nicht verwenden. :D
  ─   user9f24bd 29.06.2021 um 12:01

Ok, in der Situation kommt es darauf, was $x$ und $y$ sind. Sollen diese Ungleichungen $|x+y|\leq b<|x|+|y|$ für alle $x,y\in\mathbb R$ gelten oder nur für bestimmte Werte? Wenn diese Ungleichungen für alle Zahlen erfüllt sein sollen, dann ist das tatsächlich ein Widerspruch, denn du kannst einfach Zahlen für $x,y$ einsetzen, die die strikte Ungleichung falsch machen, z.B. einfach $x=y=0$, dann steht da $0\leq b<0$, was nicht sein kann. Wenn es aber um spezielle $x,y$ geht, dann kannst du keinen Widerspruch folgern.   ─   stal 29.06.2021 um 12:07

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