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Zur Angabe einer Funktion gehört zwingend Funktionsvorschrift und Definitionsbereich.
Anders ausgedrückt: anderer Definitionsbereich heißt andere Funktion.
Beachte den Unterschied zwischen Funktion und Funktionsvorschrift (und auch Funktionswert).
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Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Also stimmt das, was dort steht?   ─   pk05 17.07.2022 um 19:19

Ja, das ist genau richtig erklärt im Buch.   ─   mikn 17.07.2022 um 19:37

Ich hab die Begriffe von dir nachgeschaut, ich verstehe aber trotzdem nicht, was das damit zu tun hat, kannst du es genauer erklären   ─   pk05 17.07.2022 um 20:02

"das damit...": Was womit? Bitte ganz konkret fragen. Welche Begriffe verstehst du nicht, und was genau dabei?   ─   mikn 17.07.2022 um 20:10

Na also warum das jetzt doch im Buch richtig ist. Eine ganzrationale Funktion ist doch unabhängig von ihrer Definitionsmenge definiert. Lediglich hat das Nennerpolynom den Grad Null   ─   pk05 17.07.2022 um 20:16

Von ganzrational steht nichts an dieser Stelle im Buch. Warum sollte das im Buch falsch sein?   ─   mikn 17.07.2022 um 20:30

Das Buch geht davon aus, dass ganzrational immer ohne Definitionslücken definiert ist. Aber in dem Fall durch das kürzen bekommt man eine ganzrationale Funktion mit Definitionslücken   ─   pk05 17.07.2022 um 20:54

Durch das Kürzen hast du ja eben keine Definitionslücke mehr.   ─   cauchy 17.07.2022 um 20:57

Ja, deswegen muss man den Definitionsbereich nach dem Kürzen anpassen. Dann erhält man die gleiche Funktion. Und weil die Funktion durch ein Nennerpolynom mit dem Grad Null darstellbar ist, kann die Funktion nicht gebrochenrational sein. Denn man muss kürzen, um zeigen, dass die Funktion ganzrational ist.   ─   pk05 17.07.2022 um 21:01

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Ja, weil man den Defbereich automatisch (unausgesprochen immer der maximale) anpasst.
Jedenfalls keine sonderlich geschickte Definition (Schulbuch halt....)
  ─   mikn 17.07.2022 um 21:03

Gerade weil du den Definitionsbereich anpasst, hast du nicht mehr die gleiche Funktion. Wurde aber auch schon gesagt.   ─   cauchy 17.07.2022 um 21:09

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Hallo pk05,

selbstverständlich darf man die Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ und $h(x)=\frac{2x^2-2}{x+1}$ sehr wohl auch als $h(x)=2x-2$ schreiben, solange man den Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ beibehält. (Daher halte ich die Formulierung der Lehrbuchautoren für verwirrend.)

Diese Funktion $h$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ und $h(x)=2x-2$ für alle Zahlen $x$ aus dem Definitionsbereich ist jedoch aus Sicht der Lehrbuchautoren offenbar nicht ganzrational, weil ganzrationale Funktionen für sie stets Definitionsbereich $\mathbb{R}$ haben.

Viele Grüße
Tobias
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 215

 

Von ganzrational ist da ja gar nicht die Rede. Nur dass es keine gebrochen-rationale wäre, was ja zur Def. passt.   ─   mikn 17.07.2022 um 20:08

Du hast Recht damit, dass von ganzrationalen Funktionen nicht die Rede ist. (Ich hatte mir die Definition gedanklich äquivalent vereinfacht zu "Eine gebrochenrationale Funktion ist eine rationale Funktion, die nicht ganzrational ist.".)
Daher formuliere ich um:

Die Funktion $h$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ und $h(x)=2x-2$ ist gebrochenrational. Zwar lässt sie sich in der Form $h(x)=\frac{2x-2}{1}$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ schreiben, aber für die Buchautoren zählt diese Darstellung verwirrenderweise nicht als Argument gegen die Gebrochenrationalität! Das verwirrt den Fragesteller zurecht.

Die Autoren meinen offenbar in der Definition mit der Formulierung "diese Darstellung" so etwas wie "diese Darstellung mit maximalem zur Darstellung passenden Definitionsbereich", ohne das explizit zu schreiben.
  ─   tobit 17.07.2022 um 20:32

Doch, aus meiner Sicht sehen die Autoren $x\mapsto 2(x-2)$ nicht als gebrochen-rational an. Ich meine auch, da ist ein Druckfehler, es müsste in der 3. (sichtbaren) Zeile von unten heißen $g(x)=2(x-2)$. Das ist natürlich fatal bei diesem Thema.
Und ja, "man" meint oft "ausgestattet mit max. Defbereich" - das Weglassen dieser Unterstellung führt auch zu Verwirrung.
Im übrigen wäre es hilfreich, wenn der Frager auch den Teil über dem Ausschnitt posten würde - da steht nämlich was mit $g$ ganzrational.
  ─   mikn 17.07.2022 um 20:41

@mikn zur Verteidigung des Fragers, er hat oben im Kommentar unter der Frage den Text der über der Definition steht ergänzt👍😅   ─   maqu 17.07.2022 um 20:47

Es lässt sich aber sehr leicht einsehen, dass hier grundsätzlich der maximale Definitionsbereich gemeint ist, da bei der Definition im Kasten auch schon keiner angegeben ist. Durch das Kürzen würde sich dieser ändern und die Funktion wäre damit nicht mehr gebrochenrational. Insofern passt das alles.   ─   cauchy 17.07.2022 um 20:50

@mikn Wenn die Autoren die Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ und $x\mapsto 2(x-2)$ als nicht gebrochenrational ansehen würden, könnten sie die Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ und $x\mapsto\frac{2x^2-2}{x+1}$ auch nicht als gebrochenrational ansehen, denn es handelt sich bei beiden Funktionen um die gleiche Funktion!   ─   tobit 17.07.2022 um 20:51

Das tun sie doch nicht, denn die Funktion $x\mapsto 2(x-2)$ wird mit maximalen Definitionsbereich betrachtet. Das ergibt sich nun auch aus dem Text oberhalb des Kastens.   ─   cauchy 17.07.2022 um 20:52

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@maqu danke, hatte ich übersehen, stand ja von Anfang an da.
@tobit ja, wenn man den Defbereich nach eigenem Geschmack wählen könnte (siehe Kommentar von cauchy).
  ─   mikn 17.07.2022 um 21:01

Der Schüler muss also irgendwie implizit die (eigentlich unsinnige) Regel aufnehmen, dass für die Buchautoren sämtliche Darstellungen $x\mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ mit ganzrationalen Funktionen $p$ und $q$ "nicht zählen", wenn man sie nicht in Kombination mit dem maximalen Definitionsbereich betrachtet.   ─   tobit 17.07.2022 um 21:06

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ja, als Schüler muss man so manchen Unsinn mitmachen ;-)   ─   mikn 17.07.2022 um 21:18

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