Funktionskomposition | Logik

Aufrufe: 112     Aktiv: 1 Monat, 3 Wochen her

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Ich habe ein Problem mit der Funktionskomposition (Bild zur Veranschaulichung unten)

gegeben seien zwei Funktion

f: (R+ -> R+) => x |--> x²

g: (R+ -> R+) => x² |--> (x + 2)

 

Die Komposition der beiden besagt:

  • wenn man f als F definiert und G als G
  • Dann => F (bildet nach ) G ab
  • G (bildet durch neue Wertemenge, die zuvor Def. menge) nach C ab (Bildmenge)

=>wenn man (f(g(x)) nun mithilfe der Komposition zusammenzügt ergibt sich:

(x+2)², das müsste aber dasselbe sein (wie wenn man F -> G und G -> C abbildet)

wenn man nunmehr für (x+2)² die Definitionsmenge aus F (1,2,3,4,5) einsetzt, ergibt dies nicht dasselbe, wie zuvor ohne Überbrückung festgelegt.

=>Die Definition besagt aber laut meinem Verständnis: f: A -> B und g: B-> dh (f(g(x)): A -> C (das ist aber nicht gegeben, denn wenn man Def.menge von A einfügt, kommt man nicht zur Wertemenge von C.

Wo ist mein Fehler?

Bsp. zur Veranschaulichung meines Problems

 

Danke schon mal und schönen Abend

gefragt 1 Monat, 3 Wochen her
infomarvin
Auszubildender, Punkte: 56

 

Das Problem ist:
f: F -> C (x -> x²)
c: C -> R (x -> (x + 2))
dementsprechend wird die Wertemenge der 2. Funktion sowieso überbrückt, weil ja wieder von x, und nicht von x² ausgegangen wird oder? Oder wird doch x² = x gesetzt, weil ja die Wertemenge nunmehr gleichgesetzt wird mit der Definitionsmenge, ferner müsste ja in diesem Fall x² [Index: 3 = 9] quasi gleichgesetzt werden mit dem 3. Element (aus N (1,2, 3) und damit 9 = 3 gesetzt werden, und man schreibt ja diese nicht-Überbrück ja mal auf, und setzt 9 = Index 3 der Definitionsmenge und kommt dann auf 11, jetzt ist aber in Menge F der Index 3 = 3 und dann kommt man eben auf 9 mit Überbrückung, das widerspricht aber der formalen Definition: A->B => B-> C => A-> C, oder? AUßer die Wertemenge aus B wird wieder zurückgesetzt (das wäre aber gleichbedeutend) damit, dass es den Schritt A->B nie gegeben hat (d.h. Index 3 = 3 ) und dann logischerweise, sowieso x + 2 mit A -> C ausgeführt wird
Das widerspricht aber wiederrum der Komposition, dass ich ja einen Bezug zur nicht-Überbrückung herstelle, eben dadurch, dass x² (x+2) eingesetzt wird (x+2)²
  ─   infomarvin 1 Monat, 3 Wochen her
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1 Antwort
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so funktioniert das auch nicht, deine definitionen sind alle ziemlich wirr 

du hast zwei abbildungen \( f\colon A\to B,\ a\mapsto f(a) \) und \(g\colon B\to C,\ b \mapsto g(b)\)

die komposition ist wohldefiniert auf \(f(A)\subset B\) und es gilt

\(g\circ f\colon A\to C,\ a\mapsto g(f(a))\) 

wohlgemerkt: \(x^2\mapsto (x+2)\) ist keine funktionsvorschrift.

geantwortet 1 Monat, 3 Wochen her
anonym
Student, Punkte: 85
 

Ja dann ist eben die Frage, ob, wenn gilt x -> x² (dass dann x², zuvor Def.menge, jetzt zur Wertemenge wird) und dann wieder quasi (4 ^(1/2) = 2 (2. Index) ) zurückgesetzt wird und dann gilt : x |-> (x + 2)
Dann kann ich aber den mittleren Schritt doch gleich komplett weglassen.
Abgesehen davon, dass die Komposition dann keinen Sinn ergibt, da ja durch Komposition, mit Hilfe der mittleren Menge, auf die Zielmenge der 3. Menge (Wertemenge) mithilfe der Definitionsmenge von der ersten Menge abgebildet werden soll.
Wie die Komposition usw. definiert ist, ist mir eh bewusst.
  ─   infomarvin 1 Monat, 3 Wochen her

Ich verstehe deinen Text nicht, welche Definitionsmenge wird zur Wertemenge? Welcher mittlere Schritt? Was wird denn zurückgesetzt? Ich bin nicht sicher, ob dir die Definition der Komposition wirklich klar ist.

Du hast zwei reellwertige Funktionen \(f\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+,\ x\mapsto x^2\) und \(g\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+,\ x\mapsto x+2\)

dann ist \( g\circ f\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+,\ x\mapsto (g\circ f)(x) = g(f(x)) = f(x) +2\)



  ─   anonym 1 Monat, 3 Wochen her

Wenns 100% klar wäre, gäbe es ja keine Unklarheiten, und ich bräuchte keine Fragen zu stellen, was für mich klar ist, ist:
es gibt, zwei Funktion:
f: x -> x²
g: x² -> x + 2 ab
so jetzt kann ich entweder (f(g(x)) also => x (aus Menge A) -> (x+2)² (aus Menge C)
Oder
g(f(x)) = f(x) + 2 => x² + 2
.. das habe ich gemeint, das ist vollkommen klar ist

Mein Problem, war dies anhand einer Mengenrelation zu verstehen, und das durch die Definition aus dem Buch zu deuten, nämlich dass f: A -> B und B -> C folgt A -> C
.) gehe ich den Schritt A -> B (wie in der Zeichnung)
-> bilde ich 1 auf 1 , 2 auf 4, x auf x² ab
.) gehe ich den Schritt B -> C (Zeichnung)
Dann müsste ja die Menge B, die sein, die durch A zuvor indiziert wurde
Also fehlt mir das visuelle Verständnis
https://www.youtube.com/watch?v=MLyobegfFVk&t=229s
Die Idee, das visuell zu verstehen kommt aus dem Video (ca. 3:50), wo eben die 3 Mengen veranschaulicht werden. Es wird dabei eben gezeigt, dass A -> B und B -> C folgt A->C
A ist allgemein die Definitionsmenge N
B ist die durch A indizierte Menge (x²)
C nimmt die Menge der Werte von B und bildet diese auf x + 2 ab (oder nicht?) WENN nicht, dann ist die korrekte Funktionsvorschrift ja x -> x + 2 und aus B müsste dann wiederrum die Wurzel gezogen werden
und konkret, und deswegen, habe ich hier die Frage gestellt, verstehe ich nicht, wie der visuelle Zusammenhang herzustellen ist.
  ─   infomarvin 1 Monat, 3 Wochen her

Das ist alles viel zu kompliziert (ich weiß auch nicht was du mit indizieren meinst). Die Komposition \(g\circ f\) bildet ab via

\( A\xrightarrow{f} f(A) \xrightarrow{g} g(f(A)) \)

Du nimmst dir ein bel. \(x\), schickst das via \(f\) auf \(x^2\) und schickst das anschließend via \(g\) auf \(x^2+2\)

Also um es konkret zu machen:

\( (g\circ f)(x) = f(x)+2\)

\( (g\circ f)(1) = f(1)+2 = 1^2 + 2 = 3\)

\( (g\circ f)(2) = f(2)+2 = 2^2 + 2 = 6\)

\( (g\circ f)(3) = f(3)+2 = 3^2 + 2 = 11\)

usw.
  ─   anonym 1 Monat, 3 Wochen her

Danke nochmal gestern für deine Mühe, ich erklär mir das jetzt so https://www.youtube.com/watch?v=lXnW6wvklWk&t=183s

Ich hab mir das nocheinmal überlegt, war mir gestern zu spät, das was ich gemeint habe wäre ja folgendes, das entspricht aber nicht der Komposition
gegeben ist eben
f: x -> x ²
g: x -> x + 2
1. Dann führe ich x -> x² aus und erhalte {1,2,3,4,5} --> {1,4,9,16,25}
2. Dann füre ich x -> x + 2 aus {1,4,9,16,25} -> {3,6,11,18,27}
Wie ich das erreiche ist eben: fzusammengesetzt(x):= [x²] + 2 dann hätte ich das, was ich wollte, bei der Hintereinanderausführung von Funktionen entsteht aber eine komplett neue Funktion..
Also wäre das was ich erreichen will, wenn eben f und g gegeben ist
dass man g(f(x)) kompositioniert
dann würde man x² in x + 2 einsetzen und erhielte g(f(x)):= x² + 2
  ─   infomarvin 1 Monat, 3 Wochen her
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