Reihen Formel zeigen

Erste Frage Aufrufe: 77     Aktiv: 07.12.2021 um 14:14

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Hallo liebe Helfer,

ich habe die Reihe \(C(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\) gegeben. Ich soll nun zeigen, dass \(2C(x)^2=C(2x)+1\).

Leider komme ich aber immer auf \(2C(x)^2=C(2x)\).

Hier meine Rechnung:
$$2C(x)^2=2 \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n \frac {(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \cdot\frac {(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}x^{2(n-k)}=2 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}\sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k)!(2n-2k)!}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}  \cdot 2^{2n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n}=C(2x)$$

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich zerbreche mir schon seit Stunden meinen Kopf an dieser Aufgabe
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Die Gleichheit \( \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} = 2^{2n-1} \) gilt nicht für \( n=0 \). Den konstanten Term musst du also gesondert betrachten.
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Vielen lieben Dank für die Antwort! Jetzt komme ich aber auf $$2C(x)^2 = \ldots =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k}+2 \cdot 1=\ldots =C(x)+2$$   ─   userea1719 07.12.2021 um 13:45

\( C(2x) \) hat doch den konstanten Term \( 1 \). Deshalb hat \( C(2x)+1 \) den konstanten Term \( 2 \) und das passt ja auch zum konstanten Term von \( 2C(x)^2 \).   ─   42 07.12.2021 um 13:48

Also es gilt \( 2C(x)^2 \) \( = 2(1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix}) \) \( = 2(1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} 2^{2n-1}) \) \( = 2+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n} \) \( = 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n} \) \( = 1 + C(2x) \)   ─   42 07.12.2021 um 13:55

Danke jetzt habe ich es verstanden   ─   userea1719 07.12.2021 um 14:13

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