Komplexe Funktion differentieren

Aufrufe: 54     Aktiv: 03.11.2021 um 22:58

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Hey, es ist \(e^g\): \(I \to \mathbb{C}\) (\(I\) reelles Intervall) mit \(t \to\ e^{g(t)}\) gegeben, wobei \(g(t)\) von \(I \to \mathbb{C}\) eine stetig differenzierbare Funktion ist. 
ich soll das ableiten nach t, ich hab aber leider gar keine Ahnung wie ich mit g umgehen soll. g(t) ist ja ne komplexe Zahl, ich hab dann g(t) = a+bi definiert, dann das eingesetzt, mit eulerschen Formel umgeschrieben, den Realteil und Imaginärteil abgeleitet und am Schluss habe ich \(\frac{d}{dt}\)\(e^{g(t)}\) = \(ie^{g(t)}\), weiß nicht, ob das richtig ist. Aber was soll dann \(g'(t) e^{g(t)}\) sein? also insbesondere was soll \(g´(t)\) sein, ich kann ja schlecht (a+bi)´ schreiben, macht ja keinen Sinn, oder? (Also der Definitionsbereich ist immer reell, damit keine Missverständnisse auftauchen)
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g(t) kann natürlich nicht a+bi sein, weil sonst ja gar kein t drin wäre (gut, es gibt konstante Funktionen, aber i. Allg. eben).
Du machst es komplizierter als es ist. Die Ableitung $g'\cdot e^g$ ist richtig, es gelten ja die gleichen Regeln wie im Reellen.
Zur Übung leite mal das Beispiel $g(t)= e^t + i\cos t$ nach $t$ ab, schaffst Du bestimmt...
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Das die Ableitung g' e^g ist soll man ja auch zeigen, und ich wollte mich halt in der Mitte treffen.
Zur Übung hätte ich jetzt g'(t) = \(e^{t} - i sin(t) \) gesagt.
  ─   h1tm4n 03.11.2021 um 20:30

Ja, das wäre das richtige g' zum Beispiel.
Wie man das $g'\cdot e^g$ nachweist, hängt davon ab, was in der Vorlesung zum komplexen Differenzieren gesagt worden ist. Da g als komplex diffbar vorausgesetzt ist, ist die Diffbarkeit schon definiert. Dann ist wohl auch klar, dass $a(t)=Re\, g(t)$ und $b(t)=Im\,g(t)$ diffbar sind.
Und nun ist $g(t)=a(t)+i\, b(t)$, das kann man in $e^g$ einseten, nach Re/Im sortieren, reell ableiten und wieder zusammensetzen und erhält hoffentlich das gewünschte.
  ─   mikn 03.11.2021 um 20:38

Achso, ja das macht Sinn, bei mir ging ja das a und b auch von t ab, nur war ich verwirrt. Ich versuche es gleich Mal, und melde mich dann wieder in es geklappt hat.   ─   h1tm4n 03.11.2021 um 20:41

Ok, ich glaube es müsste so stimmen:
\(\frac{d}{dt}e^{g(t)}\) = \(\frac{d}{dt}e^{a(t)+ib(t)}\) = \(\frac{d}{dt}e^{a(t)}e^{ib(t)}\) = \(e^{a(t)} a'(t)e^{ib(t)}+e^{a(t)}e^{ib(t)}ib'(t)\) = Ausklammern = \(e^{a(t)+ib(t)} g'(t)\) = \(e^{g(t)}g'(t)\)

Wir haben es auch so definiert, dass eine Funktion f nach C komplex diffbar ist, wenn Re(f) und Im (f) als Funktionen nach R diffbar ist. Als Tipp wurde gegeben, man kann das mit der eulerschen Formel oder mit Reihen machen, aber hab ja nihts davon gebraucht. Das \(e^g\) stetig diffbar ist, folgt daraus dass g(t) n.V stetig sein muss (sonst wäre es ja schon nicht diffbar) und e auch und die Verkettung stetiger Funktionen auch stetig ist, oder?
  ─   h1tm4n 03.11.2021 um 21:05

Dass Ihr das so definiert habt, dachte ich mir. Aber dass $e^g$ diffbar ist, ist erstmal nicht klar (das soll ja gerade gezeigt werden). Und dass die Ableitung von $e^{i\,b(t)}$ so lautet wie von Dir verwendet, ist auch nicht klar. Daher ist das einzig angemessene hier (und so ist auch der Tipp gemeint): Umschreiben mit Eulerscher Formel, dann kann man sauber reell ableiten. Stetigkeit ist kein Problem, aber die hilft uns hier ja nicht.   ─   mikn 03.11.2021 um 21:27

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