Es kommt hier auf dxdy oder dydx an. Das macht den Unterschied. Zunächst muss In Deiner 3. Zeile dydx stehen. Beim Integral dydx wird zuerst x, dann y durchlaufen, d.h. der Bereich G_3 wird zeilenweise durchlaufen. Stell Dir die Fläche G_3 mit waagerechten Strichen schraffiert vor.

Bei dxdy ist es umgekehrt. zuerst y durchlaufen, dann x. G_3 wird spaltenweise durchlaufen. Stell Dir die Fläche G_3 mit senkrechten Strichen schraffiert vor. Daraus sieht man, dass sich G_3 in zwei Teile (und das Integral damit in zwei Integrale) aufteilt.

Der erste Teil ist der untere, begrenzt durch die Punkte (-1,e^-1+1), (-1,2), (0,2). Der zweite ist der obere, ein Dreieck mit Eckpunkten (-1,2), (0,2), (0,3)

Denk das mal gründlich durch und schau, ob Du auf die Grenzen kommst.