Bei (a) musst Du sowohl für die Basis als auch für den Exponenten, also einfach für alle \( x \) die Werte einsetzen. Für die Begründung musst Du annehmen, dass \( f \) auf die reellen Zahlen abbildet (Hättest Du \( f: \mathbb{C} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C} \) könntest Du alle Zahlen außer \( 0 \) einsetzen). Für die Begründung kannst Du dir z.B. überlegen, was passiert, wenn Du für \( x = \frac{-1}{2} \) einsetzt. Du musst aber beachten, dass Du auch im reellen Fall negative Zahlen einsetzen kannst (\( f(-2) = (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} \)). Überlege Dir also, welche Werte Du einsetzen kannst und welche nicht. 

Bei (b):
Teil 1: Da sind mir eure Regeln nicht bekannt. Schau einfach, ob es eine passende gibt oder nicht. 
Teil 2: Nutze einfach, dass für \( b > 0 \): \( a \ln b = \ln(b^a) \) und für \( a > 0 \): \( e^{\ln a} = a \) gilt. 
Teil 3: Das ganze nennt man auch Konvexität. Hier kannst Du z.B. zeigen, dass jede (gerade) Verbindungsstrecke zweier Punkte über der Funktion liegt. Das machst Du am besten in dem Du zeigst, dass die zweite Ableitung von \( f \) stets größer oder gleich Null ist. Wenn das so ist, ist das ja gleichbedeutend damit, dass die erste Ableitung überall ansteigt. Das bedeutet, dass die Funktion immer schneller größer wird und nie 'abflacht'. 
Teil 4: Dazu gab es heute schon eine Frage. Diese findest Du hier: https://www.mathefragen.de/frage/q/4047f080a1/funktionen-mit-grenzwert/ 
Teil 5: Hier ist zu zeigen, dass für alle \( a \in \mathbb{R} \) gilt, dass es immer einen \( x \)-Wert gibt, ab dem alle Funktionswerte von \( f \) größer sind als die von \( a^x \) sind.