@oiram Die Gleichung aus Deiner Frage wurde umgestellt zu der im Foto. Dann geht es mit cauchys Tipp weiter. ─ mikn 10.03.2023 um 12:47
Ich gebe mal einen geeigneten Definitionsbereich an für die Abbildung an. \( f: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R},(x,y) \mapsto \exp(xy)\).
Jetzt kannst du für $c=2$ und $\exp(xy)=c$ den Satz von der impliziten Funktion (oder wie auch immer der bei euch im Skript heißt) anwenden. Das heißt, du betrachtest $D_yf$ - ist das invertiertbar, so findest du eine Paramtrisierung $y(x)$ von der zweiten Variable durch $x$. Der Satz liefert dir mehr: Eine Formel für die Ableitung in Abhängigkeit von $D_yf$ und $D_xf$. Alternativ kannst du einfach berechnen \(\frac{d}{dx} \exp(xy(x))=\frac{d}{dx}2=0 \) und dann nach $\frac{dy}{dx}$ "auflösen". Hier kommst du am Ende auch auf die Gleichung $$\exp(xy)(x\frac{dy}{dx}+y)=0 $$ was auf diesem Definitionsbereich äquvialent zu $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$.