Berchne y' durch implizite Differention: e^(xy)=2

Aufrufe: 326     Aktiv: 10.03.2023 um 16:39

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Also Grundsätzlich komme recht gut voran und zwar bis e^(xy)*(dy/dx)=-y/x. Durch einen Rechner hab ich gesehen, dass die Lösung einfach das e^(xy) streicht, ich verstehe allerdings nicht ganz wie das funktioniert. Würde mich über eine verständliche Erklärung freuen.

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Satz vom Nullprodukt anwenden und beachten, dass die e-Funktion nicht Null werden dann.
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Also wir gehen davon aus, dass e^(xy) = 0 sein muss (in dem Term e^(xy)*(dy/dx)=0)? Ich habe es jetzt noch nachbearbeitet, denke es war vorher irreführend.   ─   oiram 10.03.2023 um 12:33

Ich denke, Cauchy redet gerade ein wenig an der Frage vorbei, die wichtige Info steht (leider) nur in der Überschrift. Es geht darum, die Ableitung von $y(x)$ zu finden. Der letzte Schritt, wie man umformt, sollte klar sein, da $\exp(xy) \neq 0$ und man in einem geeigneten Definitionsbereich umstellen kann. Das ist aber leider ohne implizite Funktion sinnlos: A priori macht der Ausdruack $\frac{dy}{dx}$ ja auch keinen Sinn - es wäre einfach $0$, wenn man nicht von einer Parametrisierung spricht.   ─   crystalmath 10.03.2023 um 12:37

@crystalmath cauchy hat genau die Frage beantwortet. Der von Dir erwähnte letzte Schritt ist eben offensichtlich nicht klar.
@oiram Die Gleichung aus Deiner Frage wurde umgestellt zu der im Foto. Dann geht es mit cauchys Tipp weiter.
  ─   mikn 10.03.2023 um 12:47

@mikn: Ohne Parametrisierung und Kontext macht die Aufgabe relativ wenig Sinn - wieso "darf" man durch $x$ teilen und wieso hängt $y$ auf einmal von $x$ ab? OP hat die Lösung durch einen Rechner gefunden, daher bin ich mir nicht ganz sicher, ob das alles so klar ist.   ─   crystalmath 10.03.2023 um 12:53

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@crystalmath es war keine Aufgabe zu lösen, sondern eine konkrete Frage zu einer Umformung zu beantworten. Das ist geschehen, offensichtlich auch mit Erfolg.   ─   mikn 10.03.2023 um 12:56

Ich habe es von Anfang an gemacht, da eben viele Infos gefehlt haben. Die Zeile $ \exp(xy)(dy/dx)=-y/x$, was ja eines der Zwischenergebnisse von OP war, hat keinen wirklichen Bezug zur weiteren Rechnung aus dem Bild. Die "ODE" wird nämlich von $\frac{d}{dx}\exp(x y(x))=\frac{d}{dx}2=0$ gewonnen.   ─   crystalmath 10.03.2023 um 13:45

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Das hat alles nichts mit der Frage zu tun. Deswegen verlangen wir ja immer, dass die Fragys konkrete Fragen stellen. Alles andere ist vorerst nicht relevant. Man sollte also schon die Fragen auch lesen und dann entsprechend darauf eingehen.   ─   cauchy 10.03.2023 um 13:59

Ich sehe nicht, wie man von $\exp(xy)\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$ zu $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$ oder $\exp(xy)(\frac{dy}{dx}x-y)=0$ kommt. Vielleich mag mir das ja jemand mal zeigen? Werde mal eine Frage dazu aufmachen.   ─   crystalmath 10.03.2023 um 15:22

@cauchy Doch hat es sehr wohl. Der Weg, wie OP zu dem kommt, ist komplett falsch meiner Meinung nach. Danach wird der letzte Schritt der Lösung gepostet, was jegliche Erläuterung davor irrelevant macht. Er hat gefragt, wie man das $\exp(xy)$ bei der Gleichung $\exp(xy)\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$ einfach streichen kann. Und die Antwort ist: Gar nicht! Deshalb habe ich eine vollständige Lösung angeben, um genau diesen Trugschluss aufzulösen.   ─   crystalmath 10.03.2023 um 15:53

Da steht, "dass die Lösung (des Rechners)" und das meint eben nicht seinen Zwischenschritt. Dort fehlt übrigens nur der e-Term auf der rechten Seite. Der wurde vermutlich einfach nur vergessen. Nichtsdestotrotz war das aber nicht die Frage. Die bezog sich nämlich auf die Lösung des Rechners.   ─   cauchy 10.03.2023 um 16:00

Ja und er "versteht nicht ganz wie das funkioniert". Also es ging genau um den Zwischenschritt. Die Gleichung aus dem Bild fällt einfach vom Himmel. Einfach ein $\exp(xy)$ vergessen? Ja ne, die ganze Frage dreht sich doch nur um dieses Detail, ob man das $\exp(xy)$ unter den Tisch kehren kann oder nicht.   ─   crystalmath 10.03.2023 um 16:04

@crystalmath ich verstehe nicht was du jetzt hier an Verständnisschwierigkeiten noch reininterpretierst … der Haken an der für das Fragy angemessenen Antwort wurde gesetzt und somit ist solch eine Meta-Diskussion garnicht mehr nötig   ─   maqu 10.03.2023 um 16:39

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Ich gebe mal einen geeigneten Definitionsbereich an für die Abbildung an. \( f: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R},(x,y) \mapsto \exp(xy)\).

Jetzt kannst du für $c=2$ und $\exp(xy)=c$ den Satz von der impliziten Funktion (oder wie auch immer der bei euch im Skript heißt) anwenden. Das heißt, du betrachtest $D_yf$ - ist das invertiertbar, so findest du eine Paramtrisierung $y(x)$ von der zweiten Variable durch $x$. Der Satz liefert dir mehr: Eine Formel für die Ableitung in Abhängigkeit von $D_yf$ und $D_xf$. Alternativ kannst du einfach berechnen \(\frac{d}{dx} \exp(xy(x))=\frac{d}{dx}2=0 \) und dann nach $\frac{dy}{dx}$ "auflösen". Hier kommst du am Ende auch auf die Gleichung $$\exp(xy)(x\frac{dy}{dx}+y)=0 $$ was auf diesem Definitionsbereich äquvialent zu $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$.

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