Es gibt einen ganzen Haufen von Konvergenzkriterien für Folgen, die ich hier nicht aufzählen will. Im Wiki-Artikel über Konvergenzkriterien sind aber eine Galerie davon aufgelistet.
Für Deine Folge ist das Monotoniekriterium hilftreich: Deine Folge ist offensichtlich monoton und beschränkt, also konvergent.

Die Rekursionsformel für \(x_n=1-0,\!5^n\) gewinnt man am besten so:
Setze \(y_n = 0,\!5^n\). Dann ist \(x_n=1-y_n\). Daraus folgt \(y_n=1-x_n\).
Die Rekursionsformel für \(y_n\) ist leicht zu erraten: \(y_{n+1} = 0,\!5\,y_n\).
Daraus gewinnt man nun eine Rekursionsformel für \(x_n\):
\(x_{n+1} =1-y_{n+1} = 1-0,\!5\, y_n = 1-0,\!5\,(1-x_n) = 0,\!5\,(1+x_n)\).