Kovergenz , rekursive Darstellung ,Monotonienachweis

Erste Frage Aufrufe: 105     Aktiv: 14.12.2023 um 20:10

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Was sind möglichst viele Kriterien für eine konvergente Folge ?

was ist die rekursive Darstellung von 1-1•0,5^n?

Monotonienachweis?

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Es gibt einen ganzen Haufen von Konvergenzkriterien für Folgen, die ich hier nicht aufzählen will. Im Wiki-Artikel über Konvergenzkriterien sind aber eine Galerie davon aufgelistet.
Für Deine Folge ist das Monotoniekriterium hilftreich: Deine Folge ist offensichtlich monoton und beschränkt, also konvergent.

Die Rekursionsformel für \(x_n=1-0,\!5^n\) gewinnt man am besten so:
Setze \(y_n = 0,\!5^n\). Dann ist \(x_n=1-y_n\). Daraus folgt \(y_n=1-x_n\).
Die Rekursionsformel für \(y_n\) ist leicht zu erraten: \(y_{n+1} = 0,\!5\,y_n\).
Daraus gewinnt man nun eine Rekursionsformel für \(x_n\):
\(x_{n+1} =1-y_{n+1} = 1-0,\!5\, y_n = 1-0,\!5\,(1-x_n) = 0,\!5\,(1+x_n)\).

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