Wenn es schnell gehen muss und du die Regeln fürs Zusammenfassen nicht kennst rechne doch schnell überall aus was rauskommt und vergleiche dann. Das dauert nicht lange, die Summen zählen ja nicht lang. Dann siehst du dass

\(\sum\limits_{k=-1}^{1}(3k^2-2)=1-2+1=0\)

\(\sum\limits_{k=1}^{3}(k+1)=2+3+4=9\)

\(9\) kommt auch bei der ersten Summe raus:

\(\sum\limits_{k=0}^{2}(3k^2-5k+3)=3+1+5=9\)

Du musst eigentlich nur folgende Summenregeln kennen:

1. Umindizierung

Hast du eine Summe und möchtest die Indizes um eine Zahl \(a\) verschieben, dann musst du die Summe wie folgt verändern:

\(\sum\limits_{k=0}^nx_k=\sum\limits_{k=0+a}^{n+a}x_{k-a}\)

Da deine Summen jeweils bei \(k=0\) beginnen sollen, verändern wir diese wie folgt:

\(\sum\limits_{k=-1}^1(3k^2-2)=\sum\limits_{k=-1+1}^{1+1}(3(k-1)^2-2)=\sum\limits_{k=0}^2(3(k-1)^2-2)\)

Das kannst du jetzt noch zusammenfassen:

\(\sum\limits_{k=0}^2(3(k-1)^2-2)=\sum\limits_{k=0}^2(3(k^2-2k+1)-2)=\sum\limits_{k=0}^2(3k^2-6k+1)\)

Für die zweite Summe machen wir das Selbe, nur müssen wir hier \(-1\) rechnen:

\(\sum\limits_{k=1}^3(k+1)=\sum\limits_{k=0}^2(k+1+1)=\sum\limits_{k=0}^2(k+2)\)

2. Addition von Summen gleicher Länge.

Hast du zwei Summen, die gleich starten und beim gleichen Wert enden und damit gleich lang sind, dann kannst du die einzelnen Summen mit einem Summenzeichen schreiben. Es gilt:

\(\sum\limits_{k=0}^na_k+\sum\limits_{k=0}^nb_k=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)\)

Da unsere veränderten Summen diese Bedingung erfüllen, kannst du sie auch unter ein Summenzeichen schreiben. Du erhälst:

\(\sum\limits_{k=0}^2(3k^2-6k+1)+\sum\limits_{k=0}^2(k+2)=\sum\limits_{k=0}^2(3k^2-6k+1+k+2)=\sum\limits_{k=0}^2(3k^2-5k+3)\)