Symmetrie, Reflexivität und Transitivität

Aufrufe: 214     Aktiv: 12.11.2023 um 23:06
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Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf Symmetrie, Reflexivität und Transitivität.

  1. Sei M = Mat(n,R) und auf M sei die Relation ∼ definiert durch A ∼ B genau dann, wenn eine invertierbare Matrix C ∈ Mat(n, R) existiert, so dass CA = BC.

  2. Sei M = Mat(3,R) und auf M sei die Relation ∼ definiert durch A ∼ B genau dann, wenn eine von der Nullmatrix verschiedene Matrix C ∈ Mat(3, R) existiert, so dass CA = CB = 0.

    Meine Idee war, dass 1. reflexiv ist. Bei den anderen Sachen bin ich ein wenig Überfragt. Wäre für jede Hilfe oder jeden Ansatz sehr dankbar. 

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Wo liegt das Problem? Sind die Begriffe klar? Dann fang an es aufzuschreiben. Es gibt sicherlich ein Beispiel in dem Unterlagen, wie man sowas angeht. Der erste Schritt ist immer, anzufangen und es aufzuschreiben.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Ja, die Begriffe sind klar und ich weiß auch, wie man es anwendet bei weniger komplexen Aufgaben. Ich glaube mein Problem ist das Verständnis der Formulierung.   ─   userd705d0 12.11.2023 um 21:19
Viel komplexer ist das hier nicht. Wie würdest du die Reflexivität für 1 denn zeigen?   ─   cauchy 12.11.2023 um 21:28
Sei A ∈ M. Dann gilt CA=AC --> A ~ A
für A existiert die invertiertere Matrix (nxn - Einheitsmatrix)   ─   userd705d0 12.11.2023 um 21:31
Von der Idee gut, aber schlecht notiert. Du solltest erst schreiben, dass es $C$ gibt und dann schreiben, dann gilt... Die logische Reihenfolge sollte man schon berücksichtigen.

Wie geht's dann für die Symmetrie?   ─   cauchy 12.11.2023 um 21:37
Es existiere C. Sei A, B ∈ M. Dann gilt CA=BC --> A~B

Transitivität: Es existiere C. Sei A,B, D ∈ M mit A ~ B und B ~ D. Zu zeigen ist: A ~ D.
CA=BC und BC=DC
Es gilt: (CA=BC) (BC=DC) = CA=DC

Das wäre jetzt meine Vermutung, kommt mir aber allerdings nicht richtig vor...

   ─   userd705d0 12.11.2023 um 21:46
Arbeite an deinem Stil und werde präziser. "Es existiere $C$" reicht auch einfach nicht. Schon mal einen Beweis in einem Buch gesehen? Sowas lässt sich wie normaler Text lesen, wenn man Formeln durch "Bla" ersetzt. Das funktioniert bei deinem Aufschrieb nicht.

Und was soll $(CA=BC) (BC=DC) $ bedeuten? Multiplizierst du zwei Gleichungen? Das ist mathematischer Käse. Lerne die Bedeutung mathematischer Zeichen und Regeln. Und vor allem, warum soll daraus $CA=DC$ folgen? Schreibe es strukturiert auf. Das fördert zu dem das Verständnis.   ─   cauchy 12.11.2023 um 21:55
Es existiere C ∈ ℝ. Sei A,B ∈ M. Dann gilt CA=BC --> A ~ B

Es existiere C ∈ ℝ. Sei A,B, D ∈ M.
A ~ B, B ~ D --> A ~ D
D.h. CA = BC, CB = DC --> CA=DC

.... ich wüsste sonst nicht, wie ich es anders aufschreiben sollte...
   ─   userd705d0 12.11.2023 um 22:03
$C$ ist also eine reelle Zahl?   ─   cauchy 12.11.2023 um 22:15
Du schreibst was hin und man merkt, Du verstehst es nicht. Damit kommst Du hier nicht durch.
Muster (abschreiben!)
[begin abschreiben]
Symmetrie: Z.z.: $A\sim B \implies B\sim A$.
Beweis: Sei $A\sim B$, d.h.
[end abschreiben]
Nun bist Du dran, was heißt (wofür steht) $A\sim B$? Dann weiter, immer mit "d.h." (entspricht logisch "äquivalent") dazwischen. Bis Du am Ende (also bei $B\sim A$) rauskommst. Schreib nichts auf, was Du nicht verstehst.
Auf geht's.
   ─   mikn 12.11.2023 um 22:16
Sei A ∼ B, d.h. CA = BC d.h, CB=AC ⟹ B ∼ A ?
   ─   userd705d0 12.11.2023 um 22:34
Warum schreibst Du nicht alles ab, wenn man es Dir schon hinschreibt? Wo ist das Problem?
Sonst im Prinzip schonmal großer Fortschritt. Es fehlt aber der Text. Was hinter dem ersten "d.h." kommt, steht in der Def. hinter dem "genau dann". Im folgenden benutze Text für Begründungen.   ─   mikn 12.11.2023 um 22:40
Symmetrie: Z.z.: A ∼ B ⟹ B ∼ A
Beweis: Sei A∼ B, d.h. wenn eine invertierbare Matrix C ∈ Mat (3, ℝ) existiert, so dass CA = BC
d.h. CB = AC ⟹ B ∼ A   ─   userd705d0 12.11.2023 um 22:47
Gut, es geht voran. Wenn Du ab dem ersten "d.h." liest, sollte Dir auffallen, dass das logisch nicht passt. Es müssen Aussagen aneinandergereiht werden. "Wenn"-Bedingungen helfen nicht. Nochmal: Schreib nichts hin, was Du nicht 100%ig verstehst.
Außerdem: "CA=BC, d.h. CB=AC". Woher kommt das? Deine Begründung? Das wirst Du Dir ja gut überlegt haben. Also?   ─   mikn 12.11.2023 um 22:54
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So, und da Du Dich nun bei mathelounge registriert hast und crosspostest (lies den FAQ dort darüber), bin ich hier raus. Trotzdem viel Erfolg!   ─   mikn 12.11.2023 um 22:57
Danke für die Info. Dann muss ich hier ja auch nicht weitermachen.

Immer wieder erstaunlich, dass kaum jemand in der Lage ist, einen deutschen Satz zu formulieren und einfach nur Formeln und Zeichen aneinandergereiht werden. Lest ihr euch eigentlich mal durch, was ihr so schreibt und hier abschickt? So kann man es nicht lernen. Man darf sich aber ruhig mal etwas Mühe geben und auch zeigen, dass man es tut. Dann helfen wir echt gern. Aber so nicht.   ─   cauchy 12.11.2023 um 23:06

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