Hallo für mich ist unklar, was du da machst, aber die Beschriftung der Summe ist in Ordnung. Es geht vielleicht leichter über einen Widerspruchsbeweis. Angenommen es existieren \((\lambda_j)_{j\in J \cup\{0\}} \) nicht alle 0, so dass \(\sum_{j\in J \cup \{0\}} \lambda_j v_j=0\). Dann muss \(\lambda_0 \not =0\) sein (Warum?). Dann kann man aber leicht zeigen, dass \(v_0 \in \operatorname{span}(v_j)_{j\in J} \)