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Guten Abend zusammen, 

ich habe Probleme zuzuordnen wann welche Formel eingesetzt werden muss. Hier habe ich einige Beispielaufgaben.

1) Person A möchte frühzeitig in Pension. Hierfür braucht er in 10 Jahren ein Kapital von 100.000€, Er muss einen bestimmten Betrag jährlich sparen. Welchen Betrag muss er sparen, um sein Ziel zu erreichen wenn ihm die Bank 6% p. a. Zinsen gewährt und die erste Zahlung am 1.1.2010 und die letzte am 1.1.2019 erfolgte?  

2) Person A hat ein Kapital von 200.000€. Diese 200.000€ möchte er in eine Stiftung einbringen. Aus diesem Stiftungskapital soll eine ewige Rente zur Unterstützung Ihrer alten Schule von 10.000€ bezahlt werden. Wie hoch muss der rechnerische Zinssatz sein, der das garantiert?

3) Person A legt jährlich nachüssig von seinem Lohn 500€ an. Person A arbeitet vom 25. bis zum 59. Lebensjahr, wobei sein Guthaben mit 6% p. a. verzinst wird. Zum Ende des 64. Lebensjahres will er sich das bis dahin angesparte Geld auszahlen lassen. Wie viel Geld wird Person A erhalten?

Habt ihr Tipps für mich, wie ich genau sehen kann welche Formel eingesetzt werden muss? 
Es gibt auch Formel wo zum Beispiel steht: (Im Bruch) 1,07^10  -1 / 1,07^10  * 0,07 oder auch 1,07^10  -1 / 0,07 ---> hier verstehe ich nicht wieso nur durch 0,07 gerechnet wird. In der vorherigen Formel jedoch wird 1,07^10  -1 / 1,07^10 * 0,07
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Für solche Zinseszinsaufgaben gilt immer die Grundformel für nachschüssige Zahlung \( K_N= R \sum_{k=0}^{N-1}q^k\) , wobei \(K_N \) das Kapital nach N Zeitabschnitten (Jahre,Monate) ist; R ist die gleichbleibende Rate, die am Anfang oder Ende des Zeitabschnitts eingezahlt wird (vorschüssig/nachschüssig) ; q = 1+p ist der Zinsfaktor und p der Zinsfuß.
Die Formel besteht also aus 4 Variablen \((K_N , R, N, p) \), wobei 3 davon gegeben sind und die 4. mit Hilfe der Formel ausgerechnet wird.
Beispiel 1: da ist R gesucht. aufpassen mit der Formel, denn hier geht es um vorschüssige Zahlung
Die Formel lautet \(K_{10}= 100000 =R \sum_{k=1}^{10}(1,06)^k=R*(1,06)\sum _{k=0}^{9}(1,06)^k=R*(1,06) {(1,06)^{10}-1 \over 1,06-1}\).
Das lässt sich dann nach R auflösen.
Zu deiner Fage unten: die Formel \({1,07 ^{10}-1 \over 0,07}=\sum_{k=0}^9(1,07)^k\). Damit berechnet man den Endwert nach 10 Jahren
Wenn man den Barwert berechnen soll muss man den Endwert abzinsen, d.h. in diesem Fall gilt: \(Barwert = {Endwert \over (1,07)^{10}}\)
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Was für eine verwirrende Antwort. Erst von "immer die Grundformel für nachschüssige Zahlung" sprechen und dann in der ersten Aufgabe direkt vorschüssige Zahlung haben. Ein Widerspruch in sich. Man hat also grundsätzlich erstmal darauf zu achten, ob es sich um eine nachschüssige oder vorschüssige Zahlung handelt. Also nichts mit "solchen" Aufgaben und "immer nachschüssig".

Des Weiteren wird in den entsprechenden Renten(endwert)formeln schon der Term für die Partialsumme der geometrischen Reihe benutzt. Das lässt sich auch um einiges leichter merken. Warum man die Formel also hier mit der geometrischen Reihe notiert, versteh ich nicht.

Schließlich funktioniert diese Formel bei der Aufgabe zur ewigen Rente nicht, da es sich hierbei nicht um eine "solche Zinzeszinsaufgabe" handelt.
  ─   cauchy 29.06.2022 um 19:24

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Tut mir leid, wenn es dich verwirrt.
Nachschüssig und vorschüssig unterscheidet sich halt nur um den Zinsfaktor q (Kann man aus der Rechnung ersehen)
Die ewige Rente erhält man sehr wohl aus der Formel für \(N \to \infty\). Für den, der es nicht so mathematisch mag, heißt das die jährliche Auszahlung (Rente) ist genau der Zins aufs Kapital.
  ─   scotchwhisky 29.06.2022 um 20:24

Vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort. Soweit habe ich das verstanden. Leider verstehe ich nicht so genau wieso unterhalb des Bruches z.B. entweder * p gerechnet wird und in anderen Aufgaben eben nicht * p sondern einfach durch z.B 1,07. Ich denke ich muss dafür einfach mehr Übungen machen.
  ─   usere5c985 29.06.2022 um 23:28

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