An dem Punkt wo du das Doppeltintegral "auflöst", du musst erst nach \(\theta\) dann nach \(r\) integrieren (oder umgekehrt nach Fubini) nicht nur die Integrale "aufteilen" auf die Funktionen mit entsprechenden Variablen. Also:

\(\displaystyle{\int_0^1 \int_0^{2\pi} (r^3+2r^2\sin(\theta)+r) \text{d}\theta \text{d} r =\int_0^1 \left[ r^3\theta -2r^2\cos(\theta)+r\theta\right]_0^{2\pi} \text{d}r =\int_0^1 (2\pi r^3 -2r^2+2\pi r -0+2r^2-0)\text{d}r =2\pi \cdot \int_0^1 (r^3+r) \text{d}r =2\pi \cdot \left[\dfrac{1}{4} r^4 +\dfrac{1}{2} r^2\right]_0^1 =2\pi \cdot \dfrac{3}{4} =\dfrac{3\pi}{2}}\)

Du musst du Gleichung also komplett erst nach der einen und dann nach der anderen Variable integrieren. Sollte in einem Term die entsprechende Variable nicht vorkommen, wird der Rest als konstanten Faktor betrachtet.

Hoffe das hilf dir weiter.