Ich schätze, dass der Summand \(1\) im Nenner keinen Einfluss darauf hat, ob die Reihe konvergiert. Wenn man den weglässt, kann man durch \(xn\) kürzen, und übrig bleibt

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ x (n - 2|x|) }{ 2n } \right)^{7n} \]

Für großes \(n\) ist \(n - 2|x| < n\), wir finden also die Majorante

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \textstyle \bigl( \frac{ x }{ 2 } \bigr)^{7n} \]

und diese geometrische Reihe konvergiert für \( |x| < 2 \).

Ich hoffe, das ging jetzt nicht zu schnell, aber die Zwischenschritte kannst du sicher selbst finden. Sonst nochmal nachfragen.