Beschreibende Darstellung von Mengen

Erste Frage Aufrufe: 234     Aktiv: 25.10.2023 um 20:01

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Wie sieht die beschreibende Darstellung von dieser Menge aus?

Ich habe das Gefühl das ich dafür das Produktzeichen benötige, bin mir allerdings nicht ganz sicher.

Wir sollen den Nenner mithilfe des Fakultät Symboles anschreiben. 

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Student, Punkte: 14

 

Sicherheit gewinnt man durch Ausprobieren. Beschreibe erst den Term, danach die Menge. Lade deinen Versuch hoch (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 25.10.2023 um 11:00
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1 Antwort
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Das Fakultätssymbol ist hier hilfreich. Es ist ja \(n!=1\cdot 2 \cdot \cdots \cdot n\). Das beinhaltet: 0!=1, 1!=1.

Damit kann man Deine Menge schon mal kürzer hinschreiben: \(E=\left\{ \frac{1}{0!}, \frac{-3}{1!}, \frac{3^2}{2!}, \frac{-3^3}{3!}\ldots,\frac{3^8}{8!} \right\} \).

Nun sieht man, dass das Vorzeichen immer wechselt. Solche alternierenden Vorzeichen lassen sich durch \((-1)^n\) ausdrücken: \((-1)^0=1,\;(-1)^1=-1,\; (-1)^2=1,\; (-1)^3=-1,\; \ldots\).

Damit kann man hinschreiben: \(\displaystyle E=\left\{ \frac{(-1)^0 \cdot 1}{0!}, \frac{(-1)^1 \cdot 3}{1!}, \frac{(-1)^2 \cdot 3^2}{2!}, \frac{(-1)^3 \cdot 3^3}{3!}\ldots,\frac{(-1)^8 \cdot3^8}{8!} \right\} \).

Es gilt: \(3^0=1, 3^1=3\). Damit kann man schreiben:
\(\displaystyle E=\left\{ \frac{(-1)^0 \cdot 3^0}{0!}, \frac{(-1)^1 \cdot 3^1}{1!}, \frac{(-1)^2 \cdot 3^2}{2!}, \frac{(-1)^3 \cdot 3^3}{3!}\ldots,\frac{(-1)^8 \cdot3^8}{8!} \right\} \).

Nun springt die Regelmäßigkeit ins Auge: Alle Elemente haben die Form \(\displaystyle \frac{(-1)^n \cdot 3^n}{n!}\), wobei n die Menge \(\{0,1,2,\ldots,8\}\) durchläuft. Dieses Sachverhalt drückt der Mathematiker so aus:

\(\displaystyle E=\left\{
  \frac{(-1)^n \cdot 3^n}{n!}
  \left|
    \begin{array}{c}\mbox{}\\ \mbox{}\end{array}
  \right.
  n\in\{0,1,2,\ldots,8\}
\right\}\).

Nun kann man das noch schöner schreiben: Einmal ist \((-1)^n \cdot 3^n = (-3)^n\), zum anderen ist die Menge \(\{0,1,2,\ldots,8\}\) immer noch eine aufzählende Mengendarstellung. Drum schreibt man so:
\(\displaystyle E=\left\{
  \frac{(-3)^n }{n!}
  \left|
    \begin{array}{c}\mbox{}\\ \mbox{}\end{array}
  \right.
  n\in\mathbb{N}, n\le 8
\right\}\).

Das ist dann die beschreibende Mengendarstellung.
Achtung! Es kann sein, dass ihr
- statt "|" das Symbol ";" verwendet
- für die natürlichen Zahlen einschließlich 0 statt \(\mathbb{N}\) das Symbol \(\mathbb{N_0}\) verwendet
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