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Der Induktionsanfang ist einfach: Für \(n=0\) ist \(1+x=\frac{(1+x)(1-x)}{1-x}=\frac{1-x^{2^{0+1}}}{1+x}.\)
Gelte nun \((1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\) für ein festes \(n\in\mathbb N_0\). (Induktionsvoraussetzung IV)
Dann gilt \(\underbrace{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})}_{IV}(1+x^{2^{n+1}})=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\cdot(1+x^{2^{n+1}})=\frac{1-\left(x^{2^{n+1}}\right)^2}{1-x}=\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}\), womit wir fertig sind.
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sterecht
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Nach Potenzgesetzen ist \(\left(x^{2^{n+1}}\right)^2=x^{2^{n+1}\cdot2}=x^{2^{n+1+1}}\). Ist es jetzt klarer?
─
sterecht
27.03.2020 um 01:39
Warum gilt nicht:
(x^2^n+1 )^2 = x^2^2n+2 sein? Warum multipliziert man nicht die Exponenten, sondern addiert nur eins drauf. Das ist doch irgendwie komisch ─ flocke93 27.03.2020 um 01:23