Verteilung von Anzahl Kugeln in Urne

Aufrufe: 276     Aktiv: 12.10.2023 um 16:29

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Meine Aufgabe ist:
Es werden n Kugeln unabhängig und uniform auf 4 Urnen verteilt. Xi beschreibt die Anzahl der Kugeln in der i-ten Urne. Wie sind X1 und X1+X2 verteilt?

Ich habe überlegt, dass X1 binomialverteilt zu p=1/4 und X1+X2 binomialverteilt zu p=1/2 ist, aber ich bin mir sehr unsicher, gerade bei X1+X2, weil X1 und X2 ja eigentlich nicht unabhängig sind (?) und ich für p=1/2 ja annehme, dass X1 und X2 beide binomialverteilt zu p=1/4 sind.
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Prüfe selbst, indem du die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_1+X_2$ aufstellst. Nimm dafür zum Beispiel ein kleines $n$.
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Danke für den Tipp! Irgendwie komme ich damit nicht wirklich weiter bzw bin mir nicht sicher, ob ich das richtig mache. Ich habe mir jetzt überlegt für n=4 wäre zb P(X1+X2=2)=P(X1=1)*P(X2=1)+P(X1=2)*P(X1=0)+P(X1=0)*P(X1=2). Ist das als Überlegung überhaupt richtig? Und wie kann ich von da weiter machen? Ich bin mir ja auch nicht sicher wie X1 bzw X2 verteilt sind.   ─   thxforallthefish 10.10.2023 um 19:09

Überlegung stimmt und auch deine vorherige Überlegung für $X_i$ war korrekt. Die sind binomialverteilt.   ─   cauchy 10.10.2023 um 23:51

Ich habe jetzt mal für n=4 die Wahrscheinlichkeiten für X1+X2=0,1,2,3,4 ausgerechnet, aber irgendwie komme ich damit immer noch nicht darauf, wie X1+X2 nun verteilt ist... Das, was ich heraushabe unterscheidet sich auf jeden Fall von den Wkeiten, die ich bekomme, wenn ich annehme, dass X1+X2 b(4,1/2) verteilt ist, aber vielleicht habe ich mich auch verrechnet?

Und es stimmt dass die Xi unabhängig und identisch verteilt sind?
  ─   thxforallthefish 11.10.2023 um 17:12

Ja müssen sie ja sein. Es wird ja keine Urne bevorzugt.   ─   cauchy 11.10.2023 um 20:34

Ah, dann ist X1+X2 binomialverteilt zu 2n und p=1/4? In meinem Skript gibt es einen Satz, der besagt, dass für X ~ b(n,p) und Y~b(m,p) unabhängig mit gemeinsamen p gilt, dass PX+Y=b(n+m,p).
Aber wie soll man dann das 2n verstehen? Es gibt ja nur n Kugeln, die verteilt werden können
  ─   thxforallthefish 11.10.2023 um 22:15

\(X_1\) und \(X_2\) sind NICHT unabhängig voneinander!

Denn: Wenn \(X_1=n\) ist, dann ist \(X_2=1\) unmöglich!
Somit gilt nicht: \(P(X_1=n \; \mbox{und} \; X_2=1) \;=\; P(X_1=n)\,P(X_2=1)\)

Der Satz gilt nur, wenn X und Y unabhängig voneinander sind. Drum kannst Du diesen Satz hier vergessen!


  ─   m.simon.539 11.10.2023 um 22:44

aber wie komme ich dann auf die Verteilung von X1+X2? Ich stehe total auf dem Schlauch :')   ─   thxforallthefish 11.10.2023 um 22:53

Ok, allgemein gilt:
Bei einer Binominal-Verteilung hat man n "Versuche", die jeweis mit der Wahrscheinlichkeit p zum "Erfolg" führen, und mit der Wahrscheinlichkeit (1-p) eben nicht.
Die Anzahl der "Erfolge" ist dann binominalverteilt mit Parametern n und p.

Ein "Versuch" ist hier: Ich nehme eine Kugel und werfe sie zufällig und gleichverteilt in eine der vier Urnen.
Als "Erfolg" werte ich es, wenn diese Kugel in Urne 1 oder in Urne 2 landet.
Die Wahrscheinlichkeit für einen "Erfolg" bei EINER Kugel kannst Du Dir jetzt ausrechnen.
Für jede Kugel hat man einen Versuch. n Kugeln sind zu verteilen.
Damit solltest Du die W.-Verteilung jetzt zusammenpuzzeln können.



  ─   m.simon.539 11.10.2023 um 23:14

(Ich hoffe, ich wirke jetzt nicht total dumm, falls das viel zu simpel gedacht ist)
bei einer Kugel wäre die Erfolgswahrscheinlichkeit ja dann 1/2. Ist sie dann für n "Treffer" (also n Kugeln die in 1 oder 2 landen) einfach (1/2)^n? Oder doch binomial mit p=1/2?
  ─   thxforallthefish 11.10.2023 um 23:21

Ist doch dann binomial. Erklärung siehe vorheriger Kommentar.   ─   cauchy 12.10.2023 um 00:34

Binomial mit p=1/2!

Nebenbei bemerkt: Die Wahrscheinlichkeit, n Treffer zu erzielen, ist \((1/2)^n\). Aber danach war ja gar nicht gefragt!
  ─   m.simon.539 12.10.2023 um 00:49

Vielen Dank an euch beide! Ich glaube, ich war gestern Abend ein bisschen zu müde, aber ich habe es jetzt verstanden   ─   thxforallthefish 12.10.2023 um 16:29

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