Moin Leude,

im Studium behandelten wir gerade Grenzwerte rationaler Funktionen. Dafür hat der Prof. zwei Polynome \(p(x) = \sum^m_{j=0}a_jx^j, a_m\neq0\) und \(q(x)=\sum_{j=0}^nb_jx^j,b_n\neq0\) gegeben und eine Funktion \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) für \(x\in\mathbb{R}\) mit \(q(x)\neq0\). Diese Funktion hat er dann wiefolgt ausgeschrieben:

\(f(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_mx^m}{b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_nx^n}\)

So weit so gut. Dann hat er jedoch an diesem Bruch eine Ausklammerung vorgenommen, die ich einfach nicht nachvollziehen kann:

\(=\frac{x^{m-n}(\frac{a_0}{x^m}+\frac{a_1}{x^{m-1}}+\ldots+\frac{a_{m-1}}{x}+a_m)}{\frac{b_0}{x^n}+\frac{b_1}{x^{n-1}}+\ldots+\frac{b_{n-1}}{x}+b_n}\)

Könnt ihr mir erklären, wie genau der Prof. hier ausgeklammert hat? Also welche Regeln dahinter stecken? Ich verstehe zum einen nicht, wie das \(x^{m-n}\) multipliziert mit der Klammer den ursprünglichen Zähler ergibt und außerdem, warum sich auch der Nenner ändert, obwohl doch das \(x^{m-n}\) nur mit dem Zähler multipliziert wird?