Binomisches Theorem beweisen ohne Identität

Aufrufe: 70     Aktiv: 12.10.2021 um 19:39

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Hallo,
wir sollten heute in unserem Vorkurs Mathe das Binomische Theorem per vollständiger Induktion beweisen. Nach der Übung habe ich mit einem Kommilitonen gesprochen der Probleme hatte die Aufgabe zu lösen, da er sich an die dazu verwendete Identität nicht mehr erinnern konnte bzw. sie ihm unbekannt war (\(n \choose k-1\)+\(n \choose k\)=\(n+1\choose k\)). Er hatte mich dann gefragt ob man die Aufgabe auch ohne diese Identität lösen könnte, und mir ist aufgefallen, dass ich auch keinen anderen Weg kenne und auch gerade im Netz keinen solchen Beweis finden konnte. Hier also meine Frage: kennt jemand von euch eine solche Möglichkeit? Wäre auch naheliegend, da ich nicht denke, dass wir die Identität in der Schule mal angesprochen haben.
LG
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2 Antworten
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Das ist so aufjeden Fall die gängigste Methode und ich sehe bei einem Induktionsbeweis auch keine wirkliche Alternative. Man kann diese Formel jedoch auch komplett ohne vollständige Induktion rein kombinatorisch lösen. Schau mal ob du auf deiner Uni-Bibliothek das lineare Algebra Buch von Bosch herunterladen kannst (übrigens das beste Buch über lineare Algebra), dort findest du einen derartigen kombinatorischen Beweis ausformuliert (mehr Text als Gleichungen, daher nicht so schön/präzise) im Abschnitt Körper (1.3).
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danke für die Empfehlung, ich denke ich schau da mal rein   ─   fix 12.10.2021 um 14:02

Den binomischen Lehrsatz willst du kombinatorisch beweisen? Um den geht es hier, nicht um die oben genannte Identität an sich.   ─   cauchy 12.10.2021 um 17:02

Ja, siehe LinA Bosch 1.3   ─   mathejean 12.10.2021 um 18:49

Da steht der Beweis genau so drin, dass er die besagte Identität ausnutzt.   ─   cauchy 12.10.2021 um 18:53

Bevor der Beweis mit Induktion geführt wird, wird er in meiner Auflage rein durch eine kombinatorische Methode geführt (dient zur Motivation des präziseren Beweises)   ─   mathejean 12.10.2021 um 19:31

Stimmt, du hast Recht. Da wird dann auch die Definition des Binomialkoeffizienten erklärt.   ─   cauchy 12.10.2021 um 19:39

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Das wird kaum gehen, da man ja von $\binom{n}k$ hochkommen muss auf $\binom{n+1}k$.
Man kann es natürlich ohne Kenntnis des "Additionstheorems" beweisen, mit Bruchrechnung und Fakultäten, womit man aber das Additionstheorem mitbeweist ohne es zu merken. So schwer ist das ja nicht (Bruchrechnung/Hauptnenner usw.).
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schon, wenn man aber vorher nicht weiß, dass das funktioniert kommt man ja erst gar nicht auf die Idee eine Indexverschiebung zu machen, trotzdem natürlich danke für die Antwort   ─   fix 12.10.2021 um 13:58

Wenn man die Ind.Beh. hinschreibt, sieht man ja, dass man auf n+1 hochkommen muss. Und da ja zwei Summen addiert werden müssen, müssen auch zwei Binomialkoeffizienten addiert werden, wo eben Bruchrechnung ins Spiel kommt.
Und Mathematik besteht zum großen Teil aus Ausprobieren. Wenn man Ansätze erst dann durchrechnet, wenn man schon vorher weiß, dass es zum Ziel führt, hat man verloren.
  ─   mikn 12.10.2021 um 14:02

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