Wir nehmen an, \(f \in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})\) sei injektiv. Dann finden wir sicherlich einen Punkt \((x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2\) mit \( \frac{\partial}{\partial y} f(x_0,y_0) \neq 0 \). Wir definieren nun die Funktion \( F(x,y)= f(x,y) - f(x_0,y_0) \).

Es gilt: \(F\) ist stetig differenzierbar, \(F(x_0,y_0)=0\) und \( \frac{\partial}{\partial y}F(x_0,y_0) \neq 0 \).

Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun offene Umgebungen \( U \) von \( x_0 \) und \( V \) von \( y_0 \) und eine Funktion \(g:U \rightarrow V\) mit der Eigenschaft \(F(u,g(u))=0\) für alle \(u \in U\).

Da \(U\) offen ist, finden wir ein \(u \in U\) mit \(u \neq x_0\). Es gilt nun \(f(u,g(u))-f(x_0,y_0)=F(u,g(u))=0\) bzw. \(f(u,g(u))=f(x_0,y_0)\). Also ist \(f\) nicht injektiv. Widerspruch zur Annahme.