$f(x)=\frac {1}{1+|x|}$ ist gleichmäßig stetig

Aufrufe: 509     Aktiv: 14.02.2022 um 16:08
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Hallo,
ich soll zeigen, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac {1}{1+|x|}$ gleichmäßig stetig ist.
Dazu erstmal die allgemeine Def:
$$ \forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,x_0 \in \mathbb{R}: |x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \epsilon$$
Sei erstmal $\epsilon >0, \delta >0, x,x_0 \in \mathbb{R}$ und gelte $|x-x_0|<\delta$, dann muss ich ja irgendwie zeigen, dass daraus $|f(x)-f(x_0)|<\delta$ folgt. Dazu müsste ich aber mal ein anständiges Delta finden, leider wird das ja in gefühlt jedem Lehrbuch weggelassen und in unserer VL kam das auch nur durch Zauberhand dahin, weshalb ich jetzt ein wenig aufgeschmissen bin.
Meine Frage also: Wie finde ich ein passendes $\delta$?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
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Vorsicht mit der logischen Reihenfolge. Es soll $|f(x)-f(y)| <\varepsilon$ sein, falls $|x-y|<\delta$, wobei $\delta$ erstmal unbekannt ist (und natürlich von $\varepsilon$ abhängt).
Die Lösung (wenn man sie hätte) mag aussehen wie von Zauberhand, aber drauf kommen tut man durch Ausprobieren. Die ausprobierenden Schritte stehen nicht in der Lösung, die Lösung schreibt man logisch andersrum auf (in der Lösung steht gleich am Anfang sowas wie "setze $\delta=...$", aber das $\delta$ findet man am Ende des Ausprobierens).
Man schaut sich also mal $ |f(x)-f(y)|$ an, formt das so um, bis irgendwas mit $|x-y|$ da steht. Dabei wird auch noch oben abgeschätzt.
Tipps dazu:
Tipp1: Ein Bruch wird (u.a.) größer, wenn der Nenner kleiner wird.
Tipp2: Dreiecksungleichung
Fang mal so an.
PS: Dieses f ist Lipschitz-stetig (und damit glm stetig), falls Dir das was sagt. Muss man dann aber auch nachweisen.
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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das so hinhaut, aber ich schreibe mal, was ich bis jetzt habe:

$$|f(x)-f(y)|=|\frac {1}{1+|x|} - \frac {1}{1+|y|}|=|\frac {|y|-|x|}{(1+|x|)(1+|y|)}| = ||y|-|x|| \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}|$$
$$\leq |x-y| \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}| < \delta \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}| \leq \delta \cdot |\frac {1}{1+|y|}| = \delta \cdot \frac {1}{1+|y|}$$
Ich definiere jetzt $$\epsilon := \delta \cdot \frac {1}{1+|y|} \iff \delta = \epsilon(1+|y|)$$
$\epsilon >0$, da das Produkt > 0 ist.

Jetzt gilt:
$$|f(x)-f(y)|< \delta \cdot \frac {1}{1+|y|}=\epsilon(1+|y|) \cdot \frac {1}{1+|y|}= \epsilon$$

und das ist ja das was ich zeigen wollte. Ich weiß nicht genau, ob das von den Notationen so passt. Ich würde gleich noch eben das mit der Lipschnitz-Stetigkeit als weitere Übung versuchen.   ─   ax.ela.n 14.02.2022 um 14:59
Zur Lipschnits-Stetigkeit:
zz: $\exists L \in \mathbb{R}\forall x,y \in \mathbb{R}: |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$
$$|f(x)-f(y)| \leq |x-y| \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}|$$
Die Rechnung dazu steht ja noch oben. Es gilt: $\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)} \geq 0$, also kann der äußere Betrag wie oben auch wegfallen, also gilt:
$$|f(x)-f(y)| \leq |x-y| \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}| =|x-y| \cdot \frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)} $$

Zusätzlich gilt:
$$0 \leq \frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)} \leq 1 \forall x,y \in R$$
D.h. ich kann ein $L>1$ wählen, sodass gilt:
$$|x-y| \cdot \frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)} \leq |x-y| \cdot L $$
Also gilt insgesamt:
$$\forall x,y \in R, \forall L>1: |f(x)-f(y)| \leq L \cdot |x-y|$$

Also habe ich den Existenzquantor für das L ganz gut bedient. Den Beweis: Lipschnitz-Stetigkeit impliziert glm. Stetigkeit hatten wir schonmal in einer Übungsaufgabe geführt.   ─   ax.ela.n 14.02.2022 um 15:20
Jetzt ist die Reihenfolge etwas durcheinandern entschuldige bitte, hier wieder zur glm Stetigketit:

$$|f(x)-f(y)|=|\frac {1}{1+|x|} - \frac {1}{1+|y|}|=|\frac {|y|-|x|}{(1+|x|)(1+|y|)}| = ||y|-|x|| \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}|$$
$$\leq |x-y| \cdot |\frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}| = |x-y| \cdot \frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)}$$

$$\forall x,y \in \mathbb{R}: 0 \leq \frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)} \leq 1$$

Auch als Antwort auf das obere: Der Term ist muss ja zwischen 0 und 1 liegen, weil das höchste der Gefühle ist x,y=0, daraus würde dann $\frac {1}{1} = 1$ folgen. Für alle anderen $x,y$ wird der Nenner größer, also insgesamt der Bruch kleiner als 1, allerdings immernoch größer als 0, wegen den Beträgen

Das heißt ich kann den ganzen Term nach oben mit 1 abschätzen, also:
$|x-y| \cdot \frac {1}{(1+|x|)(1+|y|)} \leq |x-y|$, daraus folgt ja schonmal:
$$|f(x)-f(y)| \leq |x-y|$$

Ich habe jetzt leider trotzdem nicht ganz verstanden, inwiefern mir dieser Term hilft, ein passendes $\delta$ bzw. $\epsilon$ zu finden.

   ─   ax.ela.n 14.02.2022 um 15:29
Ja stimmt, ich habe die Lipschnitz-Stetigkeit für $L=1$ gezeigt. Wenn ich jetzt $\delta$ als $\delta = \frac {\epsilon}{L}$ wähle, also $\delta = \epsilon$, dann gilt:
$$|f(x)-f(y)| \leq 1 \cdot |x-y| < 1 \cdot \delta = \epsilon $$

und das war ja zz. Haut das so hin?   ─   ax.ela.n 14.02.2022 um 15:44
Wunderbar, ich danke dir und werde die Hinweise beachten. Das hat auf jedem Fall zu einem besseren Verständnis des ganzen beigetragen :D   ─   ax.ela.n 14.02.2022 um 16:04

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