Implizite Funktionen

Erste Frage Aufrufe: 78     Aktiv: 25.06.2021 um 12:44

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Hallo zusammen! Ich habe Folgende Abbildung gegeben: \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\\g(x,y) \rightarrow xy(x+2y)\) Dazu sind zwei Aufgaben zu bearbeiten: a) Überzeugen Sie sich, dass es eine Funktion \(f\) gibt, die in einer Umgebung des Punktes x=1 definiert ist und für die die Gleichung \(g(x,f(x))=0\) gilt. Wieviele solche differenzierbare Funktionen gibt es? b) Berechnen Sie für alle diese implizite Funktionen ihre Ableitungen in x=1 Wie gehe ich hier am besten vor? Vielen Dank schonmal!
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1 Antwort
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Es geht um x=1. Zunächst ist dazu der passende y-Wert zu finden, also löse \(g(1,y)=0\), das gefundene y ist dann das f(1). Wenn es mehrere y's gibt, dann gibt es entsprechend mehrere Funktionen. Es muss aber auch noch \(g_y(x_0,y_0)\neq 0\) sein, wobei \(x_0=1, y_0=...\).
Für die gesuchten Ableitungen \(f'(1)\) (es gibt soviele davon wie es Funktionen \(f\) gibt leitet man einfach die Gleichung \(g(x,f(x))\) nach x ab, und stellt nach \(f'(x)\) um.
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Vielen Dank für die Antwort!
Ich habe jetzt für y: y=0 und y= -1/2. Wieso muss \(g_y(x_0,y_0) \neq 0 \) sein?
  ─   jonmal 25.06.2021 um 11:54

Die y-Werte stimmen. Das andere ist die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen (der bestimmt in Euer Lehrveranstaltung Thema war).   ─   mikn 25.06.2021 um 11:57

Aber wäre das nicht für beide y-Werte der Fall? Es ist ja sowohl g(1,0) = 0 als auch g(1,-1/2) = 0   ─   jonmal 25.06.2021 um 12:02

Nein, es ist \(g_y(1,0)=g_y(1,-0.5)=1\). Lies genau: \(g_y\) ist die partielle Ableitung nach y. Schau auch in die Formulierung des Satzes über implizite Funktionen.   ─   mikn 25.06.2021 um 12:34

Stimmt. Ich habe das nicht richtig gelesen. Es ging hier um die Ableitung nach y, da diese bei der Ableitung unter dem Bruch steht und damit nicht 0 sein darf.
Danke!
  ─   jonmal 25.06.2021 um 12:44

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