Unterschied zwischen = vs ≡ vs <=>

Aufrufe: 381     Aktiv: 24.03.2023 um 17:10

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Hi,

ich bin gerade dabei mich privat nochmal etwas mehr mit dem Bereich Aussagenlogik zu beschäftigen und bin gerade dabei mir ordentlich den Unterschied zwischen = vs ≡ (In Form der logischen äquivalenz) vs <=> zu Gemüte zu führen. 

Ich möchte hier nochmal aufführen, wie ich es bisher verstanden habe und hätte dann gerne Feedback dazu, ob ich es richtig verstanden habe und ggf. mich korrigiert oder noch etwas ergänzt. 
  • = bezieht sich auf die Gleichheit des Inhalts der Aussagen
    • Beispiel: A := "7 ist eine gerade Zahl", B := "7 ist eine gerade Zahl". Somit gilt A = B, da beide die gleiche Aussage haben. 
    • Beispiel: A := "7 ist eine gerade Zahl", B := "Nachts ist es dunkel". Somit gilt A ≠ B, da beide unterschiedliche Inhalte der Aussagen haben. In dem Einen geht es, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist. Wiederum in der anderen ob es Nachts dunkel ist.
  • ≡ bezieht sich nur auf den Wahrheitswert der Aussagen
  • liefert nur eine Aussage über die Wahrheitswerte von den Aussagen (z.B. A und B) -> bildet keinen neuen aussagenlogischen Ausdruck
  • Also ≡ gilt nur, wenn alle Aussagen entweder falsch oder wahr sind
    • Beispiel: A := "4 ist eine gerade Zahl", B := "Nachts ist es dunkel". Hierbei gilt zwar A ≠ B, denn beide Aussagen haben einen unterschiedlichen Inhalt. Dennoch gilt A ≡ B, weil beide den gleichen Wahrheitswert haben. A ist wahr, denn 4 ist eine gerade Zahl. B ist wahr, denn nachts ist es immer dunkel.
  • <=> verknüpft zwei Aussagen zu einem aussagenlogischen Ausdruck
  • A <=> B ist genau dann wahr, wenn beide den gleichen Wahrheitswert haben, also beide wahr oder beide falsch

TL;DR bezüglich den Unterschied zwischen ≡ vs <=>
  • ≡ liefer Aussage über die Wahrheitswerte von zwei Aussagen A und B
  • <=> zwei Aussagen werden zu einem aussagenlogischen Ausdruck verknüpft
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1 Antwort
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Moin,
Die Symbole "$=$" und "$\Leftrightarrow$" bedeuten beide, dass zwei logische Aussagen äquivalent sind. Weiteres findest du hier
Das Symbol "$\equiv$" bezeichnet ein Bikonditional, eine einzelne logische Aussage. 
Generell sollte man immer auf die vom Autor eingeführte Notation achten, da alle diese Symbole nicht eindeutig sind.
LG
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Das mit dem =-Zeichen stimmt nicht in der Antwort. Das hat der Frager völlig richtig wiedergegeben.   ─   mikn 23.03.2023 um 23:02

Du scheinst recht zu haben. Und auch $\equiv$ wird wohl von manchen Autoren als Symbol der logischen Äquivalenz benutzt, mir waren beide dieser Schreibweisen neu.   ─   fix 23.03.2023 um 23:33

Mir ist in diesem Zusammenhang das $\equiv$ neu, lt wikipedia ist das irgendwie aber nicht dasselbe wie $\iff$, aber ich hab den Unterschied nicht verstanden.
$=$ und $\iff$ sind verschiedene Dinge, und die sind in der Frage oben korrekt wiedergegeben. $=$ ist gleich im Sinne von identisch, und $\iff$ ist eben gleichWERTIG, im Sinne von gleicher Wahrheitsgehalt.
  ─   mikn 23.03.2023 um 23:42

Ja das ist eben auch mein Problem.
überall steht was anderes.
Ganz allgemein, ist mir dann nur so aufgefallen, wenn man es sehr vereinfacht ist es eigentlich so hier:

= Gleichheitszeichen bei Wertgleichheit

≡ Kongruenzzeichen bei Restgleichheit, aber kann auch bei logischer äquivalenz verwendet werden.

<=> Äquivalenzzeichen bei logischer Gleichwertigkeit

Das Problem ist nur, wann verwende ich ≡ und wann verwende ich <=>.
Kann ich beide verwenden, wie ich gerade Lust habe? Oder gibt es da bestimmte Unterschiede.
  ─   usjake 24.03.2023 um 12:16

Jetzt kommst Du mit einer neuen Version, das hilft nicht bei der Klärung.
Du hast $=$ und $\iff$ in Deiner Frage ganz oben gut und präzise erklärt. Bleib dabei.
Ich hab's in meinem vorigen Kommentar nochmal zusammengefasst. Insb. sind z.B. für mich die Aussagen "7 ist eine gerade Zahl" und "7 ist gerade" nicht gleich. Denn gerade bei Aussagen kann man prima über inhaltliche Bedeutung streiten. Also nochmal: "$=$" heißt identisch (als Zeichenstring), $\iff$ heißt logisch gleichwertig.
$\equiv$ hab ich selbst nie gesehen in diesem Zusammenhang. Wenn es irgendwo auftaucht, dann muss es in der Quelle, in der es auftaucht (nicht in einer anderen!) erklärt sein.
  ─   mikn 24.03.2023 um 12:23

Ok. Also scheint es wirklich so das es überall eine abweichende Definition gibt.
Bei mir ist die Definition von der Logischen äquivalenz die hier:

Zwei aussagenlogische Ausdrücke P und Q heißen logisch äquivalent, wenn P und Q stets denselben Wahrheitswert besitzen. Man schreibt dafür P ≡ Q.
Beachten Sie bitte den Unterschied zwischen = und ≡! Zwei aussagenlogische Ausdrücke müssen nicht gleich sein, um logisch äquivalent sein zu können. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen.

Und die Definiton von der äquivalenz (<=>):
Seien A und B Aussagen. Die Äquivalenz (auch genau-dann-wenn-Verknüpfung oder Bijunktion genannt) von A und B wird geschrieben als A ⇔ B. Ausgesprochen wird dies „A genau dann wenn B“ oder „A äquivalent B“.

A ⇔ B ist genau dann falsch, wenn eine der beiden Aussagen wahr und die andere Aussage falsch ist. Andernfalls, also wenn beide Aussagen wahr oder beide Aussagen falsch sind, ist A ⇔ B wahr.


Aber wie kann ich da genau den Unterschied fest machen?

  ─   usjake 24.03.2023 um 16:47

Wie bereits gesagt, kann ich da auch nichts zu sagen. Was ist denn genau Deine Quelle, dieses "bei mir"? Und werden da Beispiele genannt?   ─   mikn 24.03.2023 um 17:10

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