Hallo!

Das ist eine sehr weit führende Frage, aber ein wichtiges Kriterium ist die Differenzierbarkeit der Funktion, um die es geht. Nimm zum Beispiel die Funktion f(x) = |x|. Diese ist bei x = 0 nicht differenzierbar. Sie ist aber integrierbar (besitzt also eine Stammfunktion) und die Ableitung ergibt dann wieder |x|. In diesem Fall kannst die Integration und die Differentiation also nicht vertauschen, weil überhaupt nur die Variante erst zu integrieren und dann abzuleiten, "funktioniert". Für mehrdimensionale Funktionen, also Funktionen mit Funktionsterm f(x1,x2, ..., xn), sagt der Satz von Fubini, wann man vertauschen kann.

Gruß, Ruben