Sparrechner - Zinssatz berechnen

Erste Frage Aufrufe: 157     Aktiv: 02.03.2022 um 11:47

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Wie lässt sich bei einem Sparrechner (Sparplanrechner) mit vorgegebener Sparrate, Endkapital & Ansparzeit der Zinssatz (p.a.) berechnen?

Vgl. zinsen-berechnen.de mit folgenden Beispielangaben:

Ich kann mir den Weg nicht herleiten. Daher würde ich mich sehr über eine Erklärung freuen.

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Hallo,
vorweg: es gibt leider keine geschlossene Formel für deine Fragestellung. Man kann sich aber einer Gleichung herleiten, die dann im konkreten Fall gelöst werden kann. Wichtig ist, sich klar zu machen wie der Zinssatz in die Berechnung eingeht. Dafür ein Beispiel:
Bei deinen Einstellungen, also 100 € jeweils zum Monatsanfang, wird deine erste Einzahlung über das gesamte Jahr bezinst. Die Einzahlung im zweiten Monat wird dann entsprechend nur über 11 Monate bezinst, u.s.w., bis schließlich deine Einzahlung im 12. Monaten lediglich für einen Monat bezinst wird. Die Zinsen für das erste Jahr sind dann:
\(100*\frac{12}{12}*0,14026+100*\frac{11}{12}*0,14026+...+100*\frac{1}{12}*0,14026=91,17\)
Und somit insgesamt Guthaben nach dem ersten Jahr:
\(91,17+12*100=1291,17\)
Im zweiten Sparjahr geschieht zunächst das gleiche wie im ersten Jahr - es kommen in jedem Monat 100 € dazu, die entsprechend bezinst werden. D.h. für das im zweiten Jahr eingezahlte Sparguthaben ergeben sich wieder 91,17 € Zinsen. Allerdings liegt bereits ein Guthaben von 1291,17 € vor, welches voll über das gesamte zweite Jahr bezinst wird: \(1291,17*0,14026=181,10 €\).
Insgesamt nach dem zweiten Jahr somit:
\(1291,17*2+181,10=2763,44\)
Es kommt also jedes Jahr Zinsen in Höhe von 91,17€ + die Verzinsung des aktuellen Guthabens für das gesamte Jahr hinzu. Ich hoffe die Logik bei der Verzinsung ist mit dem Beispiel klar geworden. Vielleicht hat es dir ja schon geholfen und du kannst ja nun noch mal versuchen, dass allgemein zusammenzufassen. Ansonsten melde dich einfach...
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Das war doch gar nicht die Frage!

Und es gibt sehr wohl eine Formel, nämlich die Rentenformel, die man dann nur nach dem Zinssatz auflösen muss.
  ─   cauchy 01.03.2022 um 21:41

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@cauchy: was für eine Rentenformel meinst du? Und da lassen sich Sparintervall, Einzahlungsart, Zinsenzins und Spardynamik berücksichtigen, sodass nach kurzen Getippe auf dem TR der erf. Zinssatz herauskommt? Kann ich mir nicht vorstellen. Der Fragesteller suggeriert in seiner Frage, dass er selbst bereits versucht hat, sich seine Frage zu beantworten. Ich habe ihm mit meiner Antwort eine erste Hilfestellung dazu geben, die Berechnung der jährlich anfallenden Zinsen zu verstehen. Wenn man das verinnerlicht hat, kann man eventuell selbst es in eine Gleichung bringen und - wie ich bereits geschrieben habe - im konkreten Anwendungsfall lösen.   ─   drbau 01.03.2022 um 21:58

Die Formel für vorschüssige Rente!? Dem Frager interessieren aber nicht die Zinsen, sondern der Zinssatz (der hier über den Rechner berechnet wird). Meines Erachtens geht deine Antwort also völlig an seiner Frage vorbei und als Hilfestellung empfinde ich das nun auch nicht, da es eben in eine völlig falsche Richtung geht. Da wäre es dann eben sinnvoll, auf die Rentenformel zu verweisen. Von einer Spardynamik ist hier außerdem auch nicht die Rede, sondern nur vom Endkapital, der Sparrate samt Intervall und der Laufzeit. Und all das findet sich in der Formel für die vorschüssige Rente wieder. Der Zinssatz ist dann einfach die gesuchte Unbekannte, nach der man die Formel dann auflösen kann.   ─   cauchy 01.03.2022 um 22:09

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Und wie soll diese dann nach dem Zinssatz umgestellt werden? Das geht doch nur numerisch. Meine obige Umschreibung der Verzinsung mündet in \(K=s*(6,5*p+12)*\frac{(1+p)^n-1}{p}\)
mit
\(K\) = Endkapital
\(s\) = vorschüssige monatliche Sparrate
\(p\) = Zinssatz
\(n\) = Jahre
Hier ist also \(p\) gesucht.... das hat alles meine Antwort beinhaltet. Verstehe nicht, wieso du meinst, diese ginge an der Frage vorbei.
  ─   drbau 01.03.2022 um 23:12

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Alleine schon deswegen, weil du mit dem Zinssatz rechnest, der aber eigentlich berechnet werden soll. Was machst du also, wenn der Zinssatz unbekannt ist? Willst du dann erstmal eine Formel "herleiten", anstatt direkt die Rentenformel zu nutzen? Ob das nun nur numerisch zu lösen ist, spielt dabei doch gar keine Rolle.   ─   cauchy 02.03.2022 um 00:01

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Wie gesagt war es ein Beispiel, wie sich das Kapital Jahr zu Jahr aufbaut. Natürlich habe ich hier mit einem Zinssatz gerechnet. Mein Eindruck war eben der, dass dem Fragenden an der Methodik gelegen ist. Von dir zu behaupten, dass liefe alles in die komplett falsche Richtung ist einfach unfair. Gäbe es eine andere Möglichkeit an die Fragestellung heranzugehen? Ja, so wie natürlich es immer eine andere Möglichkeit gibt. Ich hatte mich eben dazu entschieden mit dem Prinzip zu beginnen. Alles weitere hätte in einem Dialog entstehen können. Es steht dir frei eine eigene Antwort zu verfassen, denn hier drehen wir uns wohl nur im Kreis.   ─   drbau 02.03.2022 um 07:06

Danke Euch für Eure Antworten und die Diskussion.
Vielen Dank, @drbau, für Deine ausführliche Erklärung. Das Prinzip mit der monatlichen Verzinsung ist mir bereits klar gewesen, es wird auch auf der verlinkten Seite erklärt. Deine Veranschaulichung macht es allerdings noch etwas verständlicher.
@cauchy liegt richtig, es geht mir um die Berechnung des Zinssatzes basierend auf bekanntem Endkapital, Sparrate, monatlichem Sparintervall und Laufzeit.
Die vorschüssige Rentenformel scheint tatsächlich die richtige zu sein.

Hier ist mir jedoch ehrlicherweise noch nicht klar, wie diese 1. auf den Zinssatz (q) aufgelöst wird und 2. mit der von @drbau erklärten monatlichen unterjährigen Verzinsung kombiniert wird.

Könnt ihr da nochmal drauf eingehen? Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Dafür wäre ich Euch sehr dankbar.
  ─   anonymb0a88 02.03.2022 um 10:18

Gerne, kein Problem.
Du setzt die bekannten/gegebenen Größen \(K\), \(s\) und \(n\) in die Formel ein und erhälst eine Gleichung für den Zinzsatz \(p\), welche du so umstellst, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Zum Lösen musst du nun ein numerisches Verfahren bemühen. Ich denke es ist sinnvoll sich zunächst eine Wertetabelle anzulegen, um einschätzen zu können auf welchem Intervall der gesuchte Zinssatz zu finden ist. Dann kannst du bspw. mit dem Newton-Verfahren oder dem Regula-falsi-Verfahren die Gleichung für \(p\) lösen. Ich würde hier wohl zum Regula-falsi-Verfahren tendieren, wenn man sich ohnehin eine Wertetabelle angelegt hat. Das spart dann das Ableiten.
  ─   drbau 02.03.2022 um 11:47

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