Du kannst die Konvergenz  ja in einer punktierten Umgebung (Epsilon-Umgebung) nachweisen. Dies machst du mit dem epsilon-delta Kriterium für Konvergenz.

Wenn du zeigen willst, dass eine Folge konvergent ist guckst du zuerst ob jene beschränkt ist und prüfst noch den Definitionsbereich auf auffälligkeiten. Als nächstes schaust du ob sich der Grenzwert(limes) der Funktion bilden lässt. Dieser ist immer eine reele Zahl (z.B.: a = 1). Wenn a also der Grenzwert der Folge existiert, so konvergiert diese Folge.

Um verschiedene Methoden der Konvergensbestimmung anzuschneiden kann ich verraten, dass es noch das Monotoniekriterium, Quotiententkriterium usw zu bestimmung von Konvergenz gibt, die aber erst bei Reihen eine wichtgere Rolle spielen werden...

Hoffe ich konnte dir deine Frage verständlich beantworten

LG

Ich habe dazu ein paar Videos am Start - sogar genau diese Funktionenfolge betrachtend.