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Ich muss beweisen oder widerlegen, dass
$\Omega=\mathbb{R}$, $\mathcal{A}$ =${\left\{ A\subset \mathbb{R}~ | A ~ist~ offen ~oder ~A~ ist ~geschlossen  \right\}}$ als Mengensystem  eine    $\sigma$-Alegbra bildet

Da jede offene Menge als geschlossene Menge geschrieben werden kann, wie zum Beispiel   $\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ a+ \frac{1}{n},b-\frac{1}{n} \right]= \left( a,b \right)$ und auch umgekehrt müsste dies doch gelten. Dies reicht aber nicht als allgemeine Begründung oder doch ?
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Du hast doch sicherlich drei Eigenschaften kennengelernt, die charakteristisch für eine $\sigma$-Algebra sind. Untersuche ob diese erfüllt sind, dann sollte Klarheit herrschen. Deine Gedanken dazu gerne wieder hochladen.   ─   maqu 31.05.2024 um 15:43

$\left( i \right)\mathbb{R}\in \mathcal{A}$, da $\mathbb{R}$ offen, sowie auch geschlossen
$\left( ii \right)$ Wenn $A$ offen ist, so ist das Komplement geschlossen und umgekehrt. Somit gilt $ A \in \mathcal{A}\Rightarrow A^{c} \in \mathcal{A}$

$\left( iii \right)$ für $A_1 ,A_2, \ldots \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \in\mathcal{A}$

Es gilt $A_1=\left( 0,2 \right) \in \mathcal{A}$ und $A_2=\left[ 3,5 \right]\in \mathcal{A}$ und setze $A_j =\emptyset $ für alle $j\ge 3$.
Jedoch gilt nun
$\left( 0,2 \right) \cup \left[ 3,5 \right] \notin \mathcal{A}$. und somit $\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \notin\mathcal{A}$
Also $\mathcal{A}$ keine $\sigma$- Algebra
  ─   max978 31.05.2024 um 17:07
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Na siehst du, und das ohne viel Hilfe.😅👍 Ich glaube zwar es genügt, dass Gegenbeispiel anzugeben um damit zu begründen das die dritte Bedingung verletzt ist. Das die ersten beiden trotzdem erfüllt sind, ist dann ja garnicht mehr von Belang. Aber eine gute Übung um die Definition zu festigen war es trotzdem, also nicht umsonst.
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Ich danke trotzdem für die Hilfe :)   ─   max978 31.05.2024 um 23:28

Immer gern👍   ─   maqu 01.06.2024 um 00:43

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