Hallo,
ich würde sagen S4 ist falsch, denn aus S2 folgt nur die Monotonie und S3 sagt nur, das
$$ a_1 < 2 $$
Das heißt aber nicht, dass alle Folgeglieder kleiner als \( 2 \) sind und somit haben wir keine Aussage bezüglich der Beschränktheit.
Was sagt ihr dazu?
Edit: Was mir auch noch auffällt ist, die Gleichung
$$ a^2 - a- 1 = 0 $$
wird durch
$$ a_{1/2} = \frac 1 2 ( 1 \pm \sqrt{5} ) $$
gelöst. Nun ist aber der Startwert \( a_1 = 1 \) unsere untere Schranke, da die Folge monoton wachsend ist. Nun gilt aber
$$ \frac 1 2 ( 1- \sqrt{5} ) < 1 $$
und kann somit nicht unser Grenzwert sein. Der Grenzwert muss also
$$ \frac 1 2 (1 + \sqrt{5} ) $$
sein.
Grüße Christian
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