Punktberechnung

Aufrufe: 412     Aktiv: 31.01.2022 um 21:08

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Aufgabe: Berechnen sie die Koordinaten eines von P(1/3/-6) verschiedenen Punktes D, der in der Ebene E:x= (-5/-3/0)+r•(16/8/-4)+s•(6/6/-6) liegt und für den der Flächeninhalt des Dreiecks aus A(-5/-3/0) , B(11,5,-4), D(?/?/?) gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks aus A(-5/-3/0); B(11/5/-4) und P(1/3/-6) ist. 

A von Dreieck ABP beträgt rund 44,9 FE

Ich hab leider keinen Plan wie man hierbei vorgehen soll. Würde mich über mögliche Ansätze freuen.

EDIT vom 30.01.2022 um 18:12:

was sagt ihr?

EDIT vom 30.01.2022 um 21:27:

Bin verwirrt.

EDIT vom 30.01.2022 um 22:09:

ab hier weiß ich nicht genau wie ich weitermache

EDIT vom 30.01.2022 um 22:43:

so richtig?

EDIT vom 30.01.2022 um 23:18:

So jetzt hab ich den Abstand zwischen dem Lotfusspunkt und P stimmt's?

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Ich mach dann mal einen Konstruktions-Vorschlag, der weniger rechenaufwändig ist
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selbstständig, Punkte: 11.89K

 

Nebenbedingung ist, dass D in E liegen soll. Wenn AB nun nicht in E liegt und auch nicht parallel zu E, dann funktioniert das aber nicht, oder irre ich mich?   ─   lernspass 31.01.2022 um 08:38

@monimust Hatte dir das Upvote gegeben, weil ich dachte es funktioniert auf jeden Fall. Dann kamen mir Zweifel, ob es auf jeden Fall funktioniert - s. Kommentar. Deshalb wollte ich mein Upvote zurücknehmen. Das geht aber nicht, das führt in Summe zu einem Downvote, obwohl ja eigentlich in Summe eine 0 rauskommen sollte. Dieser Bug ist bekannt, wurde aber leider noch nicht behoben. Eine -1 hat deine Antwort nicht verdient, deshalb jetzt wieder die 1. ;)   ─   lernspass 31.01.2022 um 09:00

@lernspass, schuggi bearbeitet hier Teile einer größeren Aufgabe, dass A und B in E liegen war mir bekannt, eine Universallösung sollte es auch nicht werden. Für P nicht in E könnte man mit Normalenvektor und Abstand (aus der bekannten Fläche) arbeiten, das war zunächst mein Ansatz)

Schon bei früheren Fragestellungen wollte ich anmerken, dass es sinnvoller wäre, die gesamten bisherigen Lösungen zu kennen. Der Frager greift ja auf Vektoren, Kreuzprodukt etc zurück, während man selbst beim Nachrechnen immer von vorne anfangen muss...
Andererseits würde es dann unübersichtlich
  ─   monimust 31.01.2022 um 10:14

Die einzelnen Teile in einzelne Fragen zu unterteilen finde ich schon nicht schlecht. Aber da hier ja verschiedene Helfer antworten, sollten schon bekannte Sachen mit in die Fragestellung, das wäre sicher am besten so.   ─   lernspass 31.01.2022 um 10:51

einem Fragenden ist doch oft nicht klar, auf welche Zwischenergebnisse man zurückgreifen könnte. D.h. er müsste alle bei jeder neuen Frage erweitern und voranstellen. Kaum zu erwarten, dass das klappt ;) Verweise auf die urls zum Nachlesen, ist mir zu kompliziert.

Was machbar ist, immer die komplette Frage mit a b c d Teil stellen und sich nur auf einen Teil beziehen.
Hier z.B. sollte die Ebene E durch A und B erst aufgestellt werden, was man in einer Teilaufgabe nachlesen könnte. Ergebnisse, die ein Helfer für nützlich hält, könnte er dann abfragen.
  ─   honda 31.01.2022 um 11:16

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Hast du denn gar keine Idee? Wie berechnet man denn die Fläche eines Dreiecks? Damit kann man ja einfach mal anfangen und sich dann überlegen, welche Größe einem fehlt. Außedem kann man die Koordinaten des Punktes $D$ immer mit Hilfe der Ebenengleichung angeben. Das könnte man bei der Berechnung dann berücksichtigen, so dass man später Bedingungen für die Parameter bekommt, die erfüllt sein müssen. Damit lässt sich dann ein Punkt explizit angeben. Hilfreich ist hier auch immer eine Skizze. 

Melde dich gern mit Zwischenergebnissen.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Wenn du das Ganze auf Papier konstruieren solltest, würde dir das sicher keine Schwierigkeit machen.

Das musst du dann auf deine Situation übertragen.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 3.96K

 

Ja genau, so würdest du das zeichnerisch lösen. Wie hast du eigentlich D in deiner Zeichnung erzeugt?   ─   lernspass 30.01.2022 um 18:17

Jetzt kommt mir trotzdem immernoch nichts in den Sinn wie ich das rechnerisch löse.
Ansatz wäre OP+0,5•AB=D
  ─   schuggi 30.01.2022 um 18:32

Du hast meine Frage noch nicht beantwortet. Wie bist du auf D gekommen?   ─   lernspass 30.01.2022 um 18:33

bzw OP+0,5•(-AB) oder nicht   ─   schuggi 30.01.2022 um 18:36

@lernspass durch den Ansatz   ─   schuggi 30.01.2022 um 18:37

Zeichnerisch hast du das aber anders gelöst.   ─   lernspass 30.01.2022 um 18:38

Durch Abmessen xD   ─   schuggi 30.01.2022 um 18:39

Ja schon. Aber wie genau hast du das abgemessen? Wahrscheinlich mit deinem Geodreieck.   ─   lernspass 30.01.2022 um 18:41

Ja mit dem Geodreieck haha. Erst de Abstand zwischen Punkt B und dem Punkt der Gerade AB, der links neben P liegt und danach den Abstand zwischen dem Punkt der Gerade AB und P. Und am Ende sozusagen auf A übertragen   ─   schuggi 30.01.2022 um 18:50

Du hast den Punkt gespiegelt. Wie funktioniert das rechnerisch?

Es gibt hier übrigens wie so häufig mehr als nur einen Weg. die Aufgabe zu lösen. Um überhaupt meinen Weg zu gehen habe ich vorab eine wichtige Bedingung geprüft. Welche? Du kannst es auch über den anderen Ansatz versuchen.

Es lohnt sich sicher, ein bisschen an der Aufgabe rumzuprobieren.
  ─   lernspass 30.01.2022 um 18:54

Kein Plan welche Bedingung du meinst, aber ich habe D(-7/1/-4) durch meinen Ansatz raus. Ich würde jetzt prüfen ob D auf der Ebene liegt und dann den Flächeninhalt vom Dreieck ABD bestimmen. Klingt aber, als würde ich mit ner Kanonenkugel auf Spatzen schiessen, durch die Spiegelung könnte man sich sowas doch sparen oder   ─   schuggi 30.01.2022 um 19:13

Mir ist die ganze Zeit noch nicht so klar, wie du auf deinen Ansatz kommst. Erklär mal.   ─   lernspass 30.01.2022 um 19:16

Also ich dachte ausgehend von meiner Zeichnung wenn man von Punkt P ausgeht und dann den halben negativen Vektor AB dazuaddiert kommt man zum Punkt D   ─   schuggi 30.01.2022 um 19:21

Du hast das doch mit deinem Geodreieck ganz anders gemacht. Da hast du nicht den halben negativen Vektor AB auf P addiert.   ─   lernspass 30.01.2022 um 19:52

Könntest du mir deinen Ansatz mit dem Spiegeln erklären?   ─   schuggi 30.01.2022 um 20:15

Okay danke. Also die Bedingungen sind A(ABP)= A(ABD) und D liegt in der Ebene. Wie kann ich den gesuchten Punkt denn ausrechnen?   ─   schuggi 30.01.2022 um 20:37

0,5•c•hc bzw. 0,5•|ABXAD|   ─   schuggi 30.01.2022 um 21:15

@cauchy schuggi nimmt das Vektorprodukt.

Die Bedingung, die man prüfen muss, um meine Lösung zu verwenden, ist die, dass alle Punkte A, B und P in der selben Ebene liegen, was übrigens so ist. Und D soll auch in der selben Ebene liegen. Deshalb das Zeichnen auf einem Blatt Papier (=Ebene). ;)
  ─   lernspass 30.01.2022 um 21:59

A,B und P liegen übrigens in der Ebene E, das ging aus einer vorherigen Aufgabe hervor   ─   schuggi 30.01.2022 um 22:10

@cauchy Ich dachte, du hättest dich auf diesen Teil bezogen. Und ich habe mich misverständlich ausgedrückt, A, B und P liegen in E und D soll auch in E liegen. Ja natürlich muss man das vorher prüfen. Das habe ich aber auch schuggi schon geschrieben.

Ich habe auch schon darauf hingewiesen, dass mehrere Wege zur Lösung gibt und das es grundsätzlich gut ist, mal einen anderen Weg auszuprobieren, wenn man auf einem Weg nicht weiter kommt.

Ich habe eben auch länger gezögert, etwas zu schreiben, weil ich den anderen Weg nicht unterbrechen wollte.

@schuggi Mach weiter so, wie du es jetzt mit cauchy angefangen hast. Wenn du dann die Lösung hast, erkläre ich dir noch, wie ich es gerechnet hätte, also was meine Idee war. Lass dich jetzt aber nicht verwirren, damit du die Lösung findest. Meine Lösung funktioniert nämlich nur in dem Fall, dass wirklich alles in derselben Ebene liegt. Also nicht allgemein. ;)
  ─   lernspass 30.01.2022 um 22:15

@cauchy Ich bin ganz deiner Meinung. Einfach mal anfangen ist eh schon die halbe Lösung.

Beim Spiegeln waren wir eigentlich schon. Den HInweis von schuggi, dass schon bekannt ist, das A, B und P in E liegen, wäre sinnvoll gewesen. ;)

@schuggi Man kann einen Punkt an einer Geraden spiegeln mit dem Lotfußpunktverfahren. Kennst du das?
  ─   lernspass 30.01.2022 um 22:30

Erstmal sorry dafür. @lernspass Lotfusspunktverfahren sagt mir nix   ─   schuggi 30.01.2022 um 22:34

@cautchy das links ist AP nicht AD   ─   schuggi 30.01.2022 um 22:35

@ cautchy naja dachte das ich dann ein Gleichungssystem aufstellen könnte um die Koordinaten auszurechnen   ─   schuggi 30.01.2022 um 22:40

@schuggi Nimmt man häufig durch, wenn man den Abstand Punkt P zur Gerade lernt. Im Prinzip Suchst du den Punkt auf der Geraden, der den minimalen Abstand zu P hat. Wenn du den kennst, ist es ein leichtes, den entgegengesetzen Punkt zu P zu berechnen.

Übrigens musst du die Betragstriche um dein Vektorprodukt setzen. Jetzt habe überhaupt erst dein EDIT gesehen.
  ─   lernspass 30.01.2022 um 22:41

@cauchy also im Endeffekt erhalte ich die Unbekannten r und s aus der Ebenengleichung   ─   schuggi 30.01.2022 um 22:49

@schuggi Die $\frac{1}{2}$ links und rechts der Gleichung heben sich auf. Du kannst die Betragsstriche nicht einfach wegfallen lassen. Der Betrag eines Vektors ist eine Zahl und zwar seine Länge. Sieh noch einmal nach, wie man das berechnet. Und ich habe auf der rechten Seite etwas anderes stehen. Hast du wirklich die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ richtig berechnet? Schreib die mal auf. Mein Kreuzprodukt liefert ein anderes Ergebnis.   ─   lernspass 30.01.2022 um 23:15

Bin damit ein wenig überfordert. Ich habe mal den ersten Ansatz zur Lösung mit dem Lotfusspunktverfahren. Den stell ich mal eben rein   ─   schuggi 30.01.2022 um 23:17

Das sieht gut aus. Ich habe für L denselben Wert. Nur dein letzter Schritt ist falsch. Du berechnest $\overrightarrow{PL}$. Du musst doch dann D berechnen. Wie kommst du da hin?   ─   lernspass 30.01.2022 um 23:22

Also falsch nicht, aber die Länge soll doch gleich bleiben. Deshalb brauchst du die nicht ausrechnen.   ─   lernspass 30.01.2022 um 23:23

0,5•(-AB)+P?   ─   schuggi 30.01.2022 um 23:24

Wieso schon wieder AB? Du hast doch jetzt den Vektor PL. Der gibt dir den kürzesten Weg von P zur Geraden von A nach B. L ist dein Punkt links von P auf der Geraden, die durch A und B geht. Und jetzt gehst du genausoweit weiter nach links zum Punkt D.

Also $\overrightarrow{0L}+\overrightarrow{PL}$
  ─   lernspass 30.01.2022 um 23:29

Ah ok, dann ist OD(5/-1/2) stimmt’s?   ─   schuggi 30.01.2022 um 23:36

Ja. Ist das jetzt eigentlich auch geometrisch klar? Immerhin hast du lange deinen Ansatz mit 0P + oder - der Hälfte von AB verfolgt. Damit landest du nicht bei dem D aus deiner Zeichnung. Wo landest du dann? Ist das auch eine mögliche Lösung?   ─   lernspass 31.01.2022 um 08:33

Ich habe in der Zeichnung 2mal D eingezeichnet und ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen es geht um das D auf der rechten Seite   ─   schuggi 31.01.2022 um 09:23

Ich hatte zwar D? gesehen, aber nicht das Kreuz dazu. Ist ja nicht so übersichtlich 2x D einzuzeichnen und dann nichts dazu zu sagen. ;)   ─   lernspass 31.01.2022 um 10:47

Übrigens ist auch dein 2. D richtig. Siehe auch die Antwort von monimust. Also kannst du auch D so berechnen, wie du mir das mehrmals vorgeschlagen hast. Das hatte ich da aber leider nicht so auf dem Schirm, weil meine Lösung ja den gespiegelten Punkt meinte.
Im Zweifelsfall machst du einfach die Probe. Dein gefundener Punkt soll in E liegen und die Fläche des neuen Dreiecks muss den entsprechenden Wert haben.
  ─   lernspass 31.01.2022 um 21:08

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