Konvergenz von Reihen mittels Sandwich Theorems

Aufrufe: 513     Aktiv: 28.09.2022 um 17:49

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Hey,
bei folgendem Beispiel stehe ich leider etwas an:
Man soll mithilfe des Sandwich Theorems die Reihe auf Konvergenz untersuchen und ggf. einen Grenzwert ermitteln.
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n \dfrac{n^2+k}{n^3+k}
\end{align*}
Bis jetzt habe ich mal in den Nenner der Summe der oberen Schranke $n^3$ eingesetzt und bei der unteren Schranke dasselbe mit $n^3+n$ gemacht, das wäre doch schon mal richtig, oder? Danach hab ich die Reihe $\sum_{k=1}^n \frac{n^2+k}{n^3}$ mithilfe der Gauß'schen Summenformel (hoffentlich richtig) so umgeformt, dass ich auf $\sum_{k=1}^n \frac{3n^2+n}{n^4}$ komme. Nach ein bisschen kürzen komme ich auf $\frac{3+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}$. Der Grenzwert ist dann also $0$, wenn $n \rightarrow \infty$. Auch mit der anderen Reihe habe ich das gemacht und komme ebenfalls auf den Grenzwert $0$.

Die Frage ist jetzt erst einmal stimmt das so? Und weiters, reicht das auch als Lösung aus? Denn, wenn eine Reihe einen (eigentlichen) Grenzwert hat, ist sie ja konvergent. Hätte man auch anders an das Beispiel herangehen können?

Ich bin für jede Hilfe dankbar! :)
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Schreib keine Romane, sondern lade Deine Rechnung hoch. Beim Sandwich-Theorem braucht man Abschätzungen nach oben und nach unten, die solltest Du klar benennen. Auch alle Umformungen sollten sichtbar sein.
Man kann so nach oben und nach unten abschätzen, wie Du es gemacht hast, aber das führt in beiden Fällen auf keine Nullfolge.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.54K

 

Das wäre meine Rechnung: https://imgur.com/a/lU6ce2J
Irgendwie komme ich da aber auf eine Nullfolge :/
  ─   yoshi 28.09.2022 um 16:40

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Wenn du dir die Reihe mal für ein paar Werte von \(n\) durchrechnest (oder vom Computer durchrechnen lässt), dann wirst du sehen, dass \( 0 \) als Grenzwert eher unwahrscheinlich ist. Tatsächlich kommt auch ein anderer Wert heraus.

Deine Abschätzungen nach oben und nach unten sind jedoch gut. Dein Vorgehen war also erstmal richtig. Beim ausrechnen der Schranken hast du jedoch einen Fehler gemacht (in beiden Fällen ist es der gleiche Fehler). Du kannst einen Faktor aus einer Summe problemlos herausziehen (ausklammern), aber bei einem Summanden geht das nicht. Du kannst zum Beispiel NICHT \( \sum_{k=1}^n (n^2 + k) = n^2 + \sum_{k=1}^n k  \) schreiben. Überlege dir, was du stattdessen tun musst, dann kommst du auch auf das richtige Ergebnis.
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