Eigenwert von Übergangsmatrix / stochastischer Matrix

Erste Frage Aufrufe: 149     Aktiv: 09.07.2022 um 21:19

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Ich muss in einem Referat über Übergangsmatrizen die Frage beantworten, weshalb ein Eigenwert immer 1 ist. 
Ich steh leider total auf dem Schlauch und finde online dazu nichts konkretes. 

Danke für jegliche Hilfen !
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Die Definitionen von Eigenwerten bzw. Eigenvektoren sind bekannt, ja?
Was für Eigenschaften haben stochastische Matrizen?
Wenn das soweit klar ist, dann solltest du die Frage selber beantworten können.

Hinweis: Guck dir mal den Vektor an, der nur aus \(1\) besteht.
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Student, Punkte: 670

 

Danke dass du mir versuchst zu helfen. Ich würde allerdings nicht fragen, wenn ich mir die Frage selbst beantworten könnte. Ich stehe anscheinend wirklich auf dem Schlauch oder in meinem Wissen fehlt genau die eine "Schlüssel"eigenschaft, die mich zur Lösung führt. Vielleicht könntest du mir das einfach kurz erklären !?   ─   user38135c 06.07.2022 um 22:15

Die Einträge der Matrix liegen in \([0,1]\) und die Zeilen (oder Spalten, je nach Definition) ergeben in Summe \(1\). Wenn du jetzt den Hinweis verwendest, bekommst du die Antwort auf deine Frage.   ─   orbit 06.07.2022 um 22:41

Bitte entschuldige, aber ich verstehe es leider immer noch nicht. Dass die Summe (bei mir im Moment: der Zeilen) = 1 ist, ist mir bekannt. Beim Berechnen der Eigenwerte gehe ich so vor, dass ich das charakteristische Polynom bilde und dort die Nullstellen berechne. Was hat das mit der Summe der Zeilen zu tun? Ich glaube dass hier mein Problem liegt.. hier fehlt mir wahrscheinlich irgend ein Zusammenhang. Oder kann man Eigenwerte noch anders bestimmen?
  ─   user38135c 06.07.2022 um 22:49

Habt ihr die Eigenwerte und Eigenvektoren so eingeführt? Das charakteristische Polynom benutzt man zur Berechnung der Eigenwerte, aber die eigentliche Definition des Eigenwerts \(\lambda\) bzw. Eigenvektors \(v\) ist über \(Av=\lambda v\).   ─   orbit 06.07.2022 um 22:57

Wie komme ich dann durch diese Gleichung auf den Eigenwert, wenn ich noch keinen Eigenvektor habe? Und worin besteht dann der Unterschied zu "normalen" Matrizen, dass bei diesen nicht immer auch 1 ein Eigenwert ist?

Wir haben das Thema Matrizen leider nicht sehr ausführlich behandelt, nur die Grundlagen. Für die Referate hat jeder ein speziefischeres Thema bekommen, dass man sich jetzt selbst erarbeitet soll und dann vorträgt. Deshalb gibt es bei mir bestimmt noch ein paar Wissenslücken, die sich noch herauskristallisieren werden...
  ─   user38135c 06.07.2022 um 23:05

Wie schon gesagt, verwende einfach mal den Hinweis den ich dir ganz am Anfang gegeben habe. Einfach mal aufschreiben und sehen, was passiert. Wirklich mehr kann ich dir auch nicht sagen ohne die Lösung vorwegzunehmen.

Du brauchst keine weiteren Kenntnisse außer Matrix-Vektor-Multiplikation.
  ─   orbit 06.07.2022 um 23:15

"Normale" Matrizen können jeden beliebigen Eigenwert haben. Der Tipp, der dir gegeben wurde war, den Vektor, der nur aus Einsen besteht, zu betrachten und dann die Definition des Eigenwerts $Av=\lambda v$. Wenn du also einen Eigenvektor $v$ zum Eigenwert 1 findest, bist du fertig.   ─   cauchy 06.07.2022 um 23:22

Also ich hab jetzt Av=λv mit der mir vorliegenden stochastischen Matrix aufgestellt und λ=1 gesetzt. Und komme für v auf den Nullvektor. Ist das so korrekt oder habe ich mich verrechnet? Was bedeutet also dieses Ergebnis, da ein Eigenvektor ja ungleich dem Nullvektor sein muss. Mir fehlt immer noch der berühmte "Aha-Effekt"... es hat einfach noch nicht klick gemacht was genau so eindeutig zu sehen ist.

Zusätzlich wäre auch noch gefragt: "Warum muss der Eigenvektor zusätzlich die Gleichung v1+v2+v3 = 1 erfüllen?" was beim meinem Ergebnis auch nicht der Fall ist...

Ich bin einfach maximal Überfordert damit, mit das ganze Thema selbst zu erarbeiten. Hat jemand gute Tipps für einen einfache Lektüre zu stochastischen Matrizen?
  ─   user38135c 09.07.2022 um 13:02

orbit und cauchy haben Dir mehrfach erklärt was zu tun ist. Anscheinend suchst Du eine kompliziertere Lösung? Kein Wunder, dass Du dann überfordert bist.
orbit hat Dir einen Vektor genannt und den Tipp Matrix-Vektor-Multiplikation. Einfacher und klarer geht's nicht. Warum machst Du das nicht?
  ─   mikn 09.07.2022 um 13:10

Ich will es doch verstehen, wieso wirst du denn gleich so unhöflich? Ich bin wirklich schon verzweifelt genug auch ohne solche unschönen Bemerkungen.

Ich weiß einfach nicht was ich falsch mache, ja ich schaue mir den (1; 1; 1) Vektor an und ja ich habe für den Eigenvektor λ=1 die Gleichung Av=λv aufgestellt und versucht den Eigenvektor zu berechnen. Da ich aber auf (0; 0; 0) gekommen bin, habe ich wohl etwas falsch gemacht oder gerade das ist das Rätsels Lösung und ich kapiere es nur nicht.

Vielen Dank, dass ihr mir alle versucht habt zu helfen! Tut mir leid, dass daraus nichts geworden ist, vielleicht komme ich ja noch über andere Wege drauf. Ich werde es mal wo anders weiter versuchen.
  ─   user38135c 09.07.2022 um 13:38

Ich fand Deine Reaktion auf orbits Hinweis ganz oben unhöflich. Du hast eine Matrix, einen Vektor, und den Tipp Matrix-Vektor-Multiplikation. Was Du falsch machst, ist diesen Hinweis nicht zu befolgen.
Um Dir zu helfen, müssten wir wissen, warum Du das nicht machst. Daher meine Frage.
Die beantwortest Du aber nicht. Und von Deinem bisher verfolgten Vorgehen rückst Du, trotz viel Mühe und Verzweiflung, nicht ab. Was sollen wir da noch machen?

  ─   mikn 09.07.2022 um 13:47

Ich wiederhole es gerne auch nochmal, dass du nicht den Eigenvektor ausrechnen sollst (der Nullvektor ist außerdem auch keiner), sondern den Vektor aus lauter Einsen als Eigenvektor nehmen sollst.

  ─   cauchy 09.07.2022 um 21:19

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