Konvergenzradius einer Potenzreihe bestimmen

Aufrufe: 889     Aktiv: 12.11.2019 um 20:56

0

Hallo zusammen!

Wie kann ich die den Konvergenzradius dieser Potenzteihe (siehe Anhang) bestimmen?

Ich habe schon bissschen angefangen aber komme leider nicht mehr weiter. Vielleicht kann mir jemand dabei weiterhefen. 

Danke im Voraus!

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 56

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Hallo,

also muss noch der Grenzwert berechnet werden:

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 2 3 \cdot \left( \frac {n e^{\varphi}} {n^2 +1} \right)^{\frac 1n } \\ = \frac 2 3 \lim\limits_{n \to \infty} e^{\frac {\varphi} n} \left( \frac {n} {n^2+1} \right)^{\frac 1n} $$

Durch die Grenzwertsätze können wir, wenn die Grenzwerte exisiteren, jeden Faktor einzelnd betrachten.

$$ \lim\limits_{n\to \infty} e^{\frac {\varphi} n } = e^0 = 1 $$

$$ \lim\limits_{n \to \infty}  \left( \frac {n} {n^2+1} \right)^{\frac 1n} = 1 $$

Also erhalten wir als Grenzwert 

$$ \frac 2 3 \cdot 1 \cdot 1 = \frac 2 3 $$

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 

Hallo,
könntest du mir bitte noch sagen wie du das um obige umgeformt hast, sodass du diesen Ausdruck bekommen hast?


Ich verstehe noch nicht ganz wieso aus einem Exponenten das "n" wegfällt und aus dem anderen ein "1/n" wird.
  ─   FFD 11.11.2019 um 18:52

Ich bin mir nicht sicher ob du meinst wie man den Code nutzt oder wie ich das mathematisch umgeformt habe:

Den Code musst du zwischen \"( \) (ohne ", also backslash Klammer auf Code backslash Klammer zu) setzen um ihn im Fließtext zu nutzen und $"$ $"$ (ebenfalls ohne ", also zwei Dollarzeichen Code zwei Dollarzeichen) um den Ausdruck zu zentrieren.

Mathematisch habe ich zuerst den konstanten Vorfaktor vor den Grenzwert gezogen, denn dieser übt keinen Einfluss auf unseren Grenzwert aus.
Dann habe ich Gebrauch von den Potenzgesetzen gemacht, es gilt
$$ (ab)^n = a^n \cdot b^n $$
also gilt
$$ \left( \frac {n e^{\varphi}} {n^2 +1} \right)^{\frac 1n } = \left( e^{\varphi} \right)^{\frac 1n} \left( \frac {n} {n^2 +1} \right)^{\frac 1n } $$
Wir nutzen wieder die Potenzgesetze, es gilt
$$ (x^a)^b = x^{b\cdot a} $$
also auch
$$ \left( e^{\varphi} \right)^{\frac 1n} = e^{\frac 1 n \cdot \varphi} = e^{\frac {\varphi} n} $$
Damit erhalten wir den Ausdruck
$$ \frac 2 3 \lim\limits_{n \to \infty} e^{\frac {\varphi} n} \left( \frac {n} {n^2+1} \right)^{\frac 1n} $$

Beantwortet das deine Frage?

Grüße Christian
  ─   christian_strack 11.11.2019 um 19:02

Vielen Dank, das beantwortet meine Frage.
Bei der Untersuchung der Randbereiche auf Konvergenz ist es dann ausreichend, wenn ich einmal in meine Reihe für x= 1/2 und x= 7/2 einsetze und diese Reihen mithilfe der Konvergenzkriterien untersuche?
  ─   FFD 12.11.2019 um 19:29

Sehr gerne :)
Ja genau das reicht aus.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 12.11.2019 um 19:42

Vielen Dank!
  ─   FFD 12.11.2019 um 20:56

Kommentar schreiben