Da ist ein Fehler bei deiner zweiten Umformung. Da hast du aus Versehen 3 mal die dritte Zeile mit der zweiten Zeile zusammengerechnet. Ansonsten ist die Vorgehensweise in Ordnung.

Wie man jetzt weiter macht, ist ganz einfach. Da die beiden Ebenen ja eine Schnittgerade haben, bleibt einer der Parameter frei, das wird dann der Parameter der Geraden. Du kannst z.B. die letzte Gleichung schreiben als \(t_2=-2s_2-10\), so dass \(s_2\) dein unbekannter Parameter bleibt. Der Einfachheit halber könnte man ihn dann auch \(k\) nennen. Jetzt kannst du wie gewohnt \(t_2\) in die übrigen Gleichungen einsetzen, so dass auch die anderen Unbekannten von \(s_2\) bzw. \(k\) abhängen. Anschließend kannst du damit dann deine Geradengleichung der Schnittgeraden aufstellen. 

Tipp: Du kannst die ersten beiden Umformungen auch in einem Schritt durchführen, da bei der ersten Umformung nur die zweite und bei der zweiten Umformung nur die dritte Gleichung verändert wird. Das spart Schreibarbeit. Kennst du außerdem die Matrixschreibweise für das Gauß-Verfahren?