Hallo,

eine Abbildung ist in erster Linie eine Zuordnung. Wir haben zwei Mengen und ordnen den Elementen aus der einen Menge, Elemente aus der anderen Menge zu. Allgemein: Eine Funktion

$$ f : A \to B $$

ordnet jedem Element aus \( A \) genau einem Element aus \( B \) zu. Die Art der Zuordnung entsteht aus der Funktionsvorschrift. 

Also sind in \( A \) alle Elemente die wir tatsächlich in die Funktion einsetzen. Das ist ja für gewöhnlich gerade die ganze \(x\)-Achse, also \( \mathbb{R} \). Nun gibt es Funktionen in die man aber nicht die ganze \(x\)-Achse einsetzen darf, deshalb muss man den Definitonsbereich anpassen. 
Somit sind also in \( A \) alle Elemente die wir einsetzen.

\( B \) ist eine Menge in die wir abbilden. Das heißt aber erstmal nicht, dass wir wirklich jedes dieser Elemente annehmen. Die Eigenschaft surjektiv bezieht sich ja gerade darauf. Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn alle Elemente aus \( B \) tatsächlich durch die Funktion angenommen werden. Also wenn \( B \) genau das Bild der Funktion ist. 
Man kann durch einschränken der Zielmenge jede Funktion surjektiv werden lassen. Es ist also eher eine Eigenschaft der Zielmenge \( B \). 
Zum Beispiel ist die Funktion 

$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto x^2 \end{array} $$

nicht surjektiv, da nur nicht negative Werte angenommen werden. Schränken wir den Zielbereich aber ein, erhalten wir eine surjektive Funktion

$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \backslash \mathbb{R}_- \\ x \mapsto x^2 \end{array} $$

Grüße Christian

Ich fürchte, Deine Frage ist nicht ganz einfach zu beantworten, da sie nicht sehr "mathematisch" ist und damit nicht 100% klar ist, was genau Du wissen möchtest.

Wenn Du eine Funktion \(f: A \to B\) hast, ist es immer so, daß Du Elemente aus A in f einsetzt und Elemente aus B erhältst. Was genau die Elemente in A sind, spielt erst mal garkeine Rolle, z.B. könnte die Funktion ja \(f(t)\) oder \(g(u)\) lauten. Für B verhält sich das genauso.

Üblicherweise hat man in der Schulmathematik Koordinatensysteme der Art (x,y) oder (x,y,z), oder (x1,x2,...). Deshalb bist Du es sicherlich gewöhnt, daß A sich in der Regel auf x und B sich in der Regel auf y bezieht.

Außerdem stellt A nicht zwingend alle Werte auf der x-Achse dar, siehe Dein angehängtes Bild, da ist A z.B. auch mal \(R_0^+\). B äquivalent.