Hallo,
eine Abbildung ist in erster Linie eine Zuordnung. Wir haben zwei Mengen und ordnen den Elementen aus der einen Menge, Elemente aus der anderen Menge zu. Allgemein: Eine Funktion
$$ f : A \to B $$
ordnet jedem Element aus \( A \) genau einem Element aus \( B \) zu. Die Art der Zuordnung entsteht aus der Funktionsvorschrift.
Also sind in \( A \) alle Elemente die wir tatsächlich in die Funktion einsetzen. Das ist ja für gewöhnlich gerade die ganze \(x\)-Achse, also \( \mathbb{R} \). Nun gibt es Funktionen in die man aber nicht die ganze \(x\)-Achse einsetzen darf, deshalb muss man den Definitonsbereich anpassen.
Somit sind also in \( A \) alle Elemente die wir einsetzen.
\( B \) ist eine Menge in die wir abbilden. Das heißt aber erstmal nicht, dass wir wirklich jedes dieser Elemente annehmen. Die Eigenschaft surjektiv bezieht sich ja gerade darauf. Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn alle Elemente aus \( B \) tatsächlich durch die Funktion angenommen werden. Also wenn \( B \) genau das Bild der Funktion ist.
Man kann durch einschränken der Zielmenge jede Funktion surjektiv werden lassen. Es ist also eher eine Eigenschaft der Zielmenge \( B \).
Zum Beispiel ist die Funktion
$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto x^2 \end{array} $$
nicht surjektiv, da nur nicht negative Werte angenommen werden. Schränken wir den Zielbereich aber ein, erhalten wir eine surjektive Funktion
$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \backslash \mathbb{R}_- \\ x \mapsto x^2 \end{array} $$
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K