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Das Volumen der Rinne ist \(V=l*Q\); l ist die Länge der Bretter, Q ist die Querschnittsfläche.
Das maximale Volumen (bei festem l ) erhält man, wenn die Querschnittsfläche maximal ist.
Die Querschnittsfläche eines Trapez wird berechnet mit \(Q= {(a+c)*h \over 2}\), wobei a die Breite unten ist (Bretterbreite); h ist die Höhe desTrapez und c ist die Länge des (gedachten ) Deckels oben. \(c \ge a\) d.h die Seitenbretter sind nach außen geneigt.
Wenn das linke Seitenbrett nach links geneigt ist und außen mit der Grundlinie den Winkel \(\alpha\) hat, dann kann man rechnen:
\(h= a* \sin \alpha \).
Bleibt noch die Länge von c zu berechnen. \(c= a + 2a* \cos \alpha \)
Damit ist \(Q={(a+c)*h \over2} = {(a+ a +2a* \cos \alpha)*(a* \sin \alpha) \over 2}= a^2 +a^2 * \cos \alpha \sin \alpha = a^2(1+\cos \alpha \sin \alpha)\).
Q ist jetzt eine Funktion von \(\alpha\) und soll maximal werden.
notwendige Bedingung: \({dQ \over d \alpha} =0\)
Daraus kannst du dann den Winkel \(\alpha\) bestimmen.(zur Überprüfung : \(\alpha = 45°\)
Das maximale Volumen (bei festem l ) erhält man, wenn die Querschnittsfläche maximal ist.
Die Querschnittsfläche eines Trapez wird berechnet mit \(Q= {(a+c)*h \over 2}\), wobei a die Breite unten ist (Bretterbreite); h ist die Höhe desTrapez und c ist die Länge des (gedachten ) Deckels oben. \(c \ge a\) d.h die Seitenbretter sind nach außen geneigt.
Wenn das linke Seitenbrett nach links geneigt ist und außen mit der Grundlinie den Winkel \(\alpha\) hat, dann kann man rechnen:
\(h= a* \sin \alpha \).
Bleibt noch die Länge von c zu berechnen. \(c= a + 2a* \cos \alpha \)
Damit ist \(Q={(a+c)*h \over2} = {(a+ a +2a* \cos \alpha)*(a* \sin \alpha) \over 2}= a^2 +a^2 * \cos \alpha \sin \alpha = a^2(1+\cos \alpha \sin \alpha)\).
Q ist jetzt eine Funktion von \(\alpha\) und soll maximal werden.
notwendige Bedingung: \({dQ \over d \alpha} =0\)
Daraus kannst du dann den Winkel \(\alpha\) bestimmen.(zur Überprüfung : \(\alpha = 45°\)
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scotchwhisky
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12.68K
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Nein. Hier sind die Seiten nicht parallel.
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scotchwhisky
09.04.2021 um 11:50
@scotchwhisky, du hast das Trapez in deiner Antwort in Parallelogramm umbenannt ;)
─
monimust
09.04.2021 um 12:17
Das ist falsch, Sorry: Trapez ist richtig Ich korrigiere.
─
scotchwhisky
09.04.2021 um 12:51
Also ich habe das jetzt erstmal so gemacht: https://imgur.com/a/5wbqDnc .
Ich habe vom Prinzip her 3 Fragen dazu:
1. Wie kamst du auf die Formel V = l * Q ?
2. a) Wie hast du Formel h = a * sin α gekommen?
b) Wie bist du auf c = a + 2a * cos α gekommen?
3. Bei dem Q' = 0 setzen ist das ja ein Nullprodukt, d.h. die 2a ist ist sogesehen a1 = 0, theoretisch..,. Mein Problem ist jetzt nur, wie verhält sich die Lösung der Gleichung bei dieser Gleichung?
─ usjake 10.04.2021 um 10:44
Ich habe vom Prinzip her 3 Fragen dazu:
1. Wie kamst du auf die Formel V = l * Q ?
2. a) Wie hast du Formel h = a * sin α gekommen?
b) Wie bist du auf c = a + 2a * cos α gekommen?
3. Bei dem Q' = 0 setzen ist das ja ein Nullprodukt, d.h. die 2a ist ist sogesehen a1 = 0, theoretisch..,. Mein Problem ist jetzt nur, wie verhält sich die Lösung der Gleichung bei dieser Gleichung?
─ usjake 10.04.2021 um 10:44
Dein Link öffnet sich bei mir nicht.
Zu deine Fragen:1)hast du schon mal das Volumen eines Quaders berechnet? Volumen ist Grundfläche * Höhe.
Wenn du die Rinne hochkannt stellst, ist Q (der Querschnitt) die Grundfläche und l die Höhe.
zu 3) a ist die Bretterbreite; auf Breite 0 schneiden die nicht im Baumarkt.
zu 2) Das linke Seitebrett ist nach links geneigt. Wenn du von der oberen Ecke senkrecht nach unten gehst, hast du die Höhe h eingezeichnet. Das Brett mit Breite a ist die Hypotenuse Unten in der Ecke ist der Winkel \(\alpha\); dann ist h die Gegenkathete und es gilt : \(h= a*\sin \alpha\). Die Länge von der Ecke bis zum Fußpunkt der Höhe ist \(k= a* \cos \alpha\). Das ist die Länge, um die der (gedachte) Deckel nach links läner ist als a. Das ist rechts wegen der Symmetrie (gleichschenkliges Trapez) geauso. Also ist die Länge des Deckels \(c = k +a +k =a+2k =a+ 2a* \cos \alpha\) ─ scotchwhisky 10.04.2021 um 12:50
Zu deine Fragen:1)hast du schon mal das Volumen eines Quaders berechnet? Volumen ist Grundfläche * Höhe.
Wenn du die Rinne hochkannt stellst, ist Q (der Querschnitt) die Grundfläche und l die Höhe.
zu 3) a ist die Bretterbreite; auf Breite 0 schneiden die nicht im Baumarkt.
zu 2) Das linke Seitebrett ist nach links geneigt. Wenn du von der oberen Ecke senkrecht nach unten gehst, hast du die Höhe h eingezeichnet. Das Brett mit Breite a ist die Hypotenuse Unten in der Ecke ist der Winkel \(\alpha\); dann ist h die Gegenkathete und es gilt : \(h= a*\sin \alpha\). Die Länge von der Ecke bis zum Fußpunkt der Höhe ist \(k= a* \cos \alpha\). Das ist die Länge, um die der (gedachte) Deckel nach links läner ist als a. Das ist rechts wegen der Symmetrie (gleichschenkliges Trapez) geauso. Also ist die Länge des Deckels \(c = k +a +k =a+2k =a+ 2a* \cos \alpha\) ─ scotchwhisky 10.04.2021 um 12:50
Vielen Dank für die Antwort.
Vielleicht funktioniert das über diesen Link: https://gyazo.com/4262315897136960dce129ed19c4c339
Zu 1.) Ja, das macht auf jeden Fall sinn, dass habe ich verstanden!
zu 3.) Ja genau, deshalb würde a1 = 0 wegfallen da DB a > 0 ist korrekt? Aber wie ist da das weitere Vorgehen zum lösen dieser Gleichung? Weil ich brauch ja irgendwas womit ich dann bspw. h und c lesen kann, um dann mit diesen Ergebnissen in die AusgangsVolumen Formel gehen kann.
zu 2.) Das mit h habe ich verstanden. Allerdings bei k -> Was ist damit dem "Fußpunkt" gemeint? ─ usjake 10.04.2021 um 13:28
Vielleicht funktioniert das über diesen Link: https://gyazo.com/4262315897136960dce129ed19c4c339
Zu 1.) Ja, das macht auf jeden Fall sinn, dass habe ich verstanden!
zu 3.) Ja genau, deshalb würde a1 = 0 wegfallen da DB a > 0 ist korrekt? Aber wie ist da das weitere Vorgehen zum lösen dieser Gleichung? Weil ich brauch ja irgendwas womit ich dann bspw. h und c lesen kann, um dann mit diesen Ergebnissen in die AusgangsVolumen Formel gehen kann.
zu 2.) Das mit h habe ich verstanden. Allerdings bei k -> Was ist damit dem "Fußpunkt" gemeint? ─ usjake 10.04.2021 um 13:28
Fußpunkt ist da, wo die Höhe h, die du einzeichnen solltest auf die Grundlinie trifft. Da ist der rechte Winkel.
Mach dir eine Zeichnung! ─ scotchwhisky 10.04.2021 um 13:29
Mach dir eine Zeichnung! ─ scotchwhisky 10.04.2021 um 13:29
Und die Grundlinie ist so gesehen a, korrekt?
─
usjake
10.04.2021 um 13:31
Das untere Brett liegt mit Breite a auf der Grundlinie. Die Grundlinie geht links und rechts weiter. Nimm mal an das ist der Erdboden.. Der geht ja rechts und links vom Brett weiter.
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scotchwhisky
10.04.2021 um 13:36
Und wie gehe ich jetzt bei der Gleichung 0 = 2a (1 + cos α sin α) vor? Also wie löse ich diese allgemein?
─
usjake
10.04.2021 um 18:50
Und wie bestimme ich das danach α ?
─
usjake
10.04.2021 um 18:53
du musst Q nach \( \alpha\) ableiten un die Ableitung = 0 setzen: \({dQ \over d \alpha} =0\), nicht nach a ableiten.
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scotchwhisky
10.04.2021 um 19:09
D.h. Q = a²(1 + cos α sin α) muss ich ableiten?
─ usjake 10.04.2021 um 19:19
─ usjake 10.04.2021 um 19:19
genau.
─
scotchwhisky
10.04.2021 um 19:51
D.h.
Q' = a²(-sin²(α) + cos²(α))
Also nun
Q' = 0
0 = a²(-sin²(α) + cos²(α))
Aber wie löse ich jetzt diese Gleichung. ─ usjake 10.04.2021 um 19:58
Q' = a²(-sin²(α) + cos²(α))
Also nun
Q' = 0
0 = a²(-sin²(α) + cos²(α))
Aber wie löse ich jetzt diese Gleichung. ─ usjake 10.04.2021 um 19:58
Also ich würde sagen: a = 0 wegen Nullprodukt und ich weiß ja bspw. sin²(α) + cos²(α) = 1. D.h. α müsste doch den gesamten reelle Zahlenraum haben oder?
Wie schreibe ich das am besten auf und wie rechne ich da jetzt weiter? ─ usjake 10.04.2021 um 20:15
Wie schreibe ich das am besten auf und wie rechne ich da jetzt weiter? ─ usjake 10.04.2021 um 20:15
Gut abgeleitet. a= 0 hatten wir schon ausgeschlossen. Bleibt \(-\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = - \sin^2 \alpha +1 - \sin^2 \alpha= 1 - 2 \sin^2 \alpha = 0==> \sin^2 \alpha = {1 \over 2} ==> \sin \alpha = {1 \over \sqrt 2} ==> \alpha = \sin^{-1}({1 \over \sqrt 2})\)
─
scotchwhisky
10.04.2021 um 21:50
Ich habe das jetzt so gemacht: https://gyazo.com/bc7b5ebbeff694f0f866a0d6f376e096
Bei deiner Lösung von de Gleichung frag ich mich, wie kommst du auf sowas wie - sin² α + 1 - sin² α ?
Also die 1 kommt vermutlich durch das Gesetzt wo sin² α + cos² α = 1 ist. Aber wie wird aus cos² auf einmal -sin²?
Dann beim nächsten 0 = 1 -2sin² α , wie kommt da die -2 zustande?
D.h. ich habe jetzt α = 45°. Da ist jetzt die Frage, wie mache ich da jetzt weiter? Theoretisch bräuchte ich doch auch noch a, damit ich damit in h und in die Ausgangsformel V = Q * l reingehen kann oder ist jetzt mit α = sin^-1 (1 / Wurzel(2) die Aufgabe abgeschlossen? ─ usjake 11.04.2021 um 09:46
Bei deiner Lösung von de Gleichung frag ich mich, wie kommst du auf sowas wie - sin² α + 1 - sin² α ?
Also die 1 kommt vermutlich durch das Gesetzt wo sin² α + cos² α = 1 ist. Aber wie wird aus cos² auf einmal -sin²?
Dann beim nächsten 0 = 1 -2sin² α , wie kommt da die -2 zustande?
D.h. ich habe jetzt α = 45°. Da ist jetzt die Frage, wie mache ich da jetzt weiter? Theoretisch bräuchte ich doch auch noch a, damit ich damit in h und in die Ausgangsformel V = Q * l reingehen kann oder ist jetzt mit α = sin^-1 (1 / Wurzel(2) die Aufgabe abgeschlossen? ─ usjake 11.04.2021 um 09:46
Da die Werte a und l nicht gegeben sind, kannst du die Aufgabe nur allgemein lösen.So ist es auch in der Aufgabenstellung gefordert. Gefragt ist nach dem Fassungsvermögen der Rinne. Das ist das Volumen. V=Q*l. Jetzt musst du nur noch Q hinschreiben.
─
scotchwhisky
11.04.2021 um 11:05
Ok. Inwiefern: "Jetzt musst du nur noch Q hinschreiben." ? :D
─
usjake
11.04.2021 um 11:50
na ja; Q allein reicht nicht. du musst schon das was wir für Q berechnet haben einsetzen.
\(Q= {(a+c)*h \over 2}\). a kannst du stehen lassen; c und h haben wir zwischendurch berechnet. Da musst du noch \(\alpha\) in sin bzw Cosinus einsetzen. ─ scotchwhisky 11.04.2021 um 12:02
\(Q= {(a+c)*h \over 2}\). a kannst du stehen lassen; c und h haben wir zwischendurch berechnet. Da musst du noch \(\alpha\) in sin bzw Cosinus einsetzen. ─ scotchwhisky 11.04.2021 um 12:02
Aus deinen Zeichnungen sehe ich, dass dir nicht klar ist , wie die Rinne aussieht. Das ist grob gesagt ein U, wobei die senkrechten Striche links und rechts nach außen geneigt sind.
─
scotchwhisky
11.04.2021 um 12:06
Wäre so hier die Zeichnung?
https://gyazo.com/55d5dfe97cea1341699929585bfa52fa ─ usjake 11.04.2021 um 12:16
https://gyazo.com/55d5dfe97cea1341699929585bfa52fa ─ usjake 11.04.2021 um 12:16
ja. Die Rinne ist jetzt richtig. Nur den Winkel \(\alpha\) hatten wir außen zwischen Grundlinie und schrägem Brett angelegt.
─
scotchwhisky
11.04.2021 um 12:21
Also ich habe das jetzt so würde das so stimmen? Wäre die Aufgabe fertig? https://ibb.co/DV275Vs
─
usjake
12.04.2021 um 17:48
1. du hast die Winkel \(\alpha \) in der Zeichnung in der Zeichnung falsch eingezeichnet. Wo du sie hingesetzt hast sind rechte Winkel. Wo sie hingehören siehe letzten Kommentar.
2 du kannst die Gleichung für Q noch vereinfachen. Die a´s kannst du vor die Klammer ziehen. für sin45° und cos45° solltest du die Werte einsetzen. (\({\sqrt 2 \over 2}\)) ─ scotchwhisky 12.04.2021 um 18:17
2 du kannst die Gleichung für Q noch vereinfachen. Die a´s kannst du vor die Klammer ziehen. für sin45° und cos45° solltest du die Werte einsetzen. (\({\sqrt 2 \over 2}\)) ─ scotchwhisky 12.04.2021 um 18:17
Wäre das so hier komplett richtig? https://ibb.co/DYSNv35
─
usjake
13.04.2021 um 14:47
nein: oben steht \(Q={(a +a +2a \cos \alpha )(a \sin \alpha ) \over 2}\)
wir hatten ausgerechnet, dass der maximale Querschnitt bei \(\alpha =45° \)erreicht wird also kann man setzen:
\(Q= {(a+a+2a* \cos45°)(a* \sin45°) \over 2} \); \(\sin 45° = {\sqrt 2 \over 2} ; \cos 45°={\sqrt 2 \over2}\)
==> \(Q={(2a +2a* {\sqrt 2 \over2})(a*{ \sqrt 2 \over2}) \over 2}=a^2 { \sqrt2 \over 2}+a^2{\sqrt 2 \over 2}*{\sqrt 2 \over 2} = a^2({\sqrt 2 \over2}+{2 \over4})=a^2({\sqrt 2+1 \over2})\). Das Fassungsvermögen der Rinne ist dann \(V=l*Q=l*a^2({\sqrt 2 +1\over 2})\) ─ scotchwhisky 13.04.2021 um 16:20
wir hatten ausgerechnet, dass der maximale Querschnitt bei \(\alpha =45° \)erreicht wird also kann man setzen:
\(Q= {(a+a+2a* \cos45°)(a* \sin45°) \over 2} \); \(\sin 45° = {\sqrt 2 \over 2} ; \cos 45°={\sqrt 2 \over2}\)
==> \(Q={(2a +2a* {\sqrt 2 \over2})(a*{ \sqrt 2 \over2}) \over 2}=a^2 { \sqrt2 \over 2}+a^2{\sqrt 2 \over 2}*{\sqrt 2 \over 2} = a^2({\sqrt 2 \over2}+{2 \over4})=a^2({\sqrt 2+1 \over2})\). Das Fassungsvermögen der Rinne ist dann \(V=l*Q=l*a^2({\sqrt 2 +1\over 2})\) ─ scotchwhisky 13.04.2021 um 16:20
Stimmt das so jetzt so? https://ibb.co/52wXghV
─
usjake
13.04.2021 um 20:02
richtig abgeschrieben.
─
scotchwhisky
14.04.2021 um 02:26
Verstehe ich das richtig gleichschenkliges Trapez ≙ Parallelogramm ? ─ usjake 09.04.2021 um 11:36