Im ersten Satz wird der Begriff Häufigkeitspunkt erklärt. Man prüft einen einzelnen Punkt \(x \in D\), dann den nächsten Punkt, usw. Alle Punkte, die die beschriebene Eigenschaft besitzen, bilden dann die Menge \(D'\).

Fast hätte ich geschrieben \(D' \subset D\), das wäre aber nicht korrekt, wenn \(D\) eine offene Menge ist, da zu \(D'\) dann auch die Randpunkte von \(D\) gehören. Nicht in \(D\) enthalten sind aber vereinzelte Punkte, z.B. der Punkt \(x = 2\) von \(D = [0,1] \cup \{2\} \cup [3,4]\).

In der folgenden Definition wird dieses \(D'\) benutzt, um genau diese vereinzelten Punkte auszuschließen. Hier hat die „vorübergehende“ Einschränkung \(D \setminus \{x\}\) aus dem ersten Satz aber keinerlei Wirkung mehr. Es ist ja nicht so, dass die Punkte in \(D'\) dauerhaft aus \(D\) entfernt würden (das ist dein Missverständnis). \(D\) ist immmer noch dieselbe Menge wie zu Anfang, also kann man \(D \cap D'\) beschreiben als „alle Punkte in \(D\), mit Ausnahme derjenigen, die vereinzelt liegen“.