Frage zur Lage der Geraden und Ebenen

Aufrufe: 68     Aktiv: 07.09.2021 um 18:17

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Gegeben ist eine Gerade und eine Ebene in Parameterform. Ist die Gerade g parallel zur Ebene E, wenn die beiden Spannvektoren von E Vielfache vom Richtungsvektor des g sind?


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Du kannst dir das einfach überlegen. Nimm 2 Blätter Papier und male auf das eine ein Koordinatensystem. Die x - und die y - Achse spannen die Ebene (also das ganze Blatt Papier) auf. Auf dem 2. Blatt malst du irgendeine Gerade, die nicht parallel zur x - Achse und nicht parallel zur y-Achse liegt, also z.B. die Winkelhalbierende. Die beiden Blätter mit etwas Abstand halten. Dann ist die Gerade auf dem 2. Blatt parallel zum 1. Blatt, aber der Richtungsvektor der Gerade ist weder ein Vielfaches des einen, noch des anderen Spannvektors des 1. Blatts.
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Wenn beide Spannvektoren Vielfache des RV sind, sind sie auch Vielfache voneinander.  Damit spannen sie keine Ebene auf.
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selbstständig, Punkte: 9.03K

 

Dass heißt, dass das nicht so wie bei den Geraden ist, wenn man diese analysieren möchte von der Lage her?   ─   math1234 07.09.2021 um 13:50

Die Parametergleichung einer Ebene unterscheidet sich doch von der einer Geraden, dann muss auch das Vorgehen angepasst werden. Man spricht allgemeiner von linearer Abhängigkeit mehrerer Vektoren. Ist einer ein Vielfaches des anderen, so sind sie linear abhängig. Bei drei Vektoren ist die Überprüfung mittels Linearkombination etwas aufwändiger, aber das Prinzip ist schon gleich, also man muss nicht was völlig anderes rechnen.

  ─   monimust 07.09.2021 um 18:17

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Eine Gerade ist dann parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor eine Linearkombination der Spannvektoren (alle drei Vektoren sind also linear abhängig) ist. Hat die Gerade mit der Ebene keinen gemeinsamen Punkt, so spricht man auch von echt parallel. Andernfalls kann die Gerade auch in der Ebene liegen.
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Selbstständig, Punkte: 11.12K

 

Über letzteres könnte man diskutieren. Für mich ist eine Gerade, die in einer Ebene liegt, auch parallel zu dieser. Auch wikipedia sieht das so, https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)
  ─   mikn 07.09.2021 um 15:42

Dort wird aber auch zwischen parallel und echt parallel unterrschieden. Ich werde es entsprechend ändern, um Verwirrung zu vermeiden.   ─   cauchy 07.09.2021 um 16:09

@cauchy: Bisschen weiter unten wird speziell auf den 3d-Fall eingegangen.
Durchgehend konsequent ist das (wikipedia) mMn nicht formuliert.
  ─   mikn 07.09.2021 um 16:21

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