Du kannst dir das einfach überlegen. Nimm 2 Blätter Papier und male auf das eine ein Koordinatensystem. Die x - und die y - Achse spannen die Ebene (also das ganze Blatt Papier) auf. Auf dem 2. Blatt malst du irgendeine Gerade, die nicht parallel zur x - Achse und nicht parallel zur y-Achse liegt, also z.B. die Winkelhalbierende. Die beiden Blätter mit etwas Abstand halten. Dann ist die Gerade auf dem 2. Blatt parallel zum 1. Blatt, aber der Richtungsvektor der Gerade ist weder ein Vielfaches des einen, noch des anderen Spannvektors des 1. Blatts.

Wenn beide Spannvektoren Vielfache des RV sind, sind sie auch Vielfache voneinander.  Damit spannen sie keine Ebene auf.

Eine Gerade ist dann parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor eine Linearkombination der Spannvektoren (alle drei Vektoren sind also linear abhängig) ist. Hat die Gerade mit der Ebene keinen gemeinsamen Punkt, so spricht man auch von echt parallel. Andernfalls kann die Gerade auch in der Ebene liegen.