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Hallo AsefRezai,
Du brauchst zuerst ein paar wichtige Erkenntnisse:
1. Da die Höhe des Wassers am Rand nicht gegeben ist, lässt sich nur eine Lösung in Abhängigkeit von \(a\) finden. Wenn ihr eine exakte Lösung braucht, ist hier schon Ende!
2. Wenn die blaue Fläche rotiert wird, hat sie ein Volumen von 1 Liter = 1 dm^3 = 1000 cm^3
3. Betrachte den Tiefpunkt der Parabel als Ursprung deines Koordinatensystems
4. Für eine Rotation um die y-Achse wird die Umkehrfunktion benötigt.
Für den von \(a\) abhängigen Fall fangen wir mit dem Bereich unter dem Tiefpunkt, also der x-Achse, an. Klar ist, dass der Tiefpunkt 5 über dem Boden des Zylinders ist. Deshalb berechnen wir das Volumen unterhalb der x-Achse leicht mit
\(V_{Z} = \pi\cdot r^2\cdot h = \pi\cdot 5^2\cdot 5 \approx 393\)
Nun berechnen wir einen allgemeinen Zylinder über der x-Achse, die genau so hoch ist, wie das Wasser am Rand des rotierenden Zylinders. Davon müssen wir aber das Volumen des Paraboloids, also innerhalb der Parabel, abziehen, dann bleibt das Volumen des Wassers übrig.
Dafür müssen wir aber noch herausfinden, wie hoch dieser Zylinder, also die Höhe des Wassers, ist und wir müssen die Umkehrfunktion der Parabel bilden, da wir um die y-Achse rotieren.
Die Höhe berechnet sich allgemein leicht. Die Parabel hat die Funktion \(y = ax^2\), gehen wir den Radius des Messzylinders in eine Richtung, gilt für die Höhe der Parabel \(y = a\cdot 5^2 = 25a\).
Jetzt berechnen wir die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Parabel, indem wir die Funktion nach \(x\) auflösen. Daraus ergibt sich \(x = \sqrt{\frac{y}{a}} = f^{-1}(y)\).
Setzen wir das zusammen:
\(V_{Rest}(a) = V_{Z2} - V_{Para} \\= \pi\cdot r^2\cdot h\ -\ \pi\cdot \displaystyle\int_0^{25a} (f^{-1}(y))^2 dy \\= \pi\cdot r^2\cdot 25a\ -\ \pi\cdot \displaystyle\int_0^{25a} \sqrt{\frac{y}{a}}^{\ 2} dy\)
Und damit ist das Wasservolumen allgemein:
\(V_{Wasser} = V_{Z} + V_{Rest}(a)\)
Wie du siehst ist es abhängig von a.
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