Die Abbildung \(C^1(\mathbb R)\to C^1(\mathbb R),\ f\mapsto f'\) ist linear. Ist \(\mathfrak M\) linear abhängig, gibt es also eine nichttriviale Linearkombination $$0=\sum_{i=0}^n\lambda_if_i.$$ Wegen der Linearität des Ableitens ist dann auch $$0=\left(\sum_{i=0}^n\lambda_if_i\right)'=\sum_{i=0}^n\lambda_if_i',$$ also sind auch die Ableitungen linear abhängig, und mit dem selben Argument (Induktion!) kann man einsehen, dass auch die \(j\)-ten Ableitungen linear abhängig sind für alle \(j\), und zwar immer mit den gleichen Faktoren \(\lambda_i\). Also sind auch die Spalten der Matrix linear abhängig, also hat die Matrix nicht vollen Rang, also ist die Determinante \(0\).