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Hallo zusammen,

ich und meine Lerngruppe sind mal wieder auf eine Aufgabe gestoßen wo keiner wirklich eine AHnung hat wie man diese lösen soll, vielleicht kann uns hier jemand weiterhelfen :-)



Vielen Dank im Voraus
gefragt

Punkte: 10

 

Mit der Matrix die
Wronski-Determinante berechnen.
Wenn die Wronski determinate =0 ist,
bilden die Funktionen kein Fundamentalsystem.
  ─   peterpils 03.02.2021 um 17:04

Es ist zwar korrekt, dass man einfach den entsprechenden Satz zur Wronski-Determinante zitieren kann, aber ich bezweifle, dass dieser dem Fragesteller bekannt ist; sonst ist die Aufgabe irgendwie ein Witz.   ─   stal 03.02.2021 um 17:07

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1 Antwort
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Die Abbildung \(C^1(\mathbb R)\to C^1(\mathbb R),\ f\mapsto f'\) ist linear. Ist \(\mathfrak M\) linear abhängig, gibt es also eine nichttriviale Linearkombination $$0=\sum_{i=0}^n\lambda_if_i.$$ Wegen der Linearität des Ableitens ist dann auch $$0=\left(\sum_{i=0}^n\lambda_if_i\right)'=\sum_{i=0}^n\lambda_if_i',$$ also sind auch die Ableitungen linear abhängig, und mit dem selben Argument (Induktion!) kann man einsehen, dass auch die \(j\)-ten Ableitungen linear abhängig sind für alle \(j\), und zwar immer mit den gleichen Faktoren \(\lambda_i\). Also sind auch die Spalten der Matrix linear abhängig, also hat die Matrix nicht vollen Rang, also ist die Determinante \(0\).
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Vielen Dank. Ich verstehe hier leider nur Bahnhof. :( Kann man das irgendwie nachvollziehbar für einen nicht Mathe-Pro aufschreiben??   ─   aweis 03.02.2021 um 16:38

Versuch es Satz für Satz nachzuvollziehen, überlege dir, warum stimmt, was ich sage. Schlage die Definitionen nach, wenn du sie nicht weißt. Zum Beispiel behaupte ich im ersten Satz, dass \(f\mapsto f'\) eine lineare Abbildung ist. Was ist die Definition von einer linearen Abbildung in Vektorräumen? Es muss gelten, dass für alle stetig differenzierbaren Funktionen \(f,g\) und alle reellen \(\lambda\) stets \((f+g)'=f'+g'\) und \((\lambda f)'=\lambda f'\) gilt. Ist das wahr? Ja, das sind übliche Ableitungsregeln. Also stimmt die Aussage. Nächster Satz. Das ist einfach nur die Definition von linearer Abhängigkeit. Mach immer so weiter. Wenn du noch konkrete Fragen hast, kannst du sie gerne stellen.   ─   stal 03.02.2021 um 16:47

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