Also als erstes dein Additionstheorem für $\cos(2t)$ falsch.

Es gilt $\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t)$.

Damit erhälst du schon nach dem ersten Schritt etwas anderes. Fang von da lieber nochmal neu an umzustellen.

Somit solltest du nach Vereinfachung auf folgenden Ausdruck kommen:

$\displaystyle{\int \sin(t)\cos(t)+2\sin^3(t) \text{d}t =\int \dfrac{1}{2} \sin(2t)\text{d}t +\int 2\sin^3(t) \text{d}t}$

Ich würde an deiner Stelle das Integral dann Aufteilen und beide Integrale einzeln lösen.

Hoffe das hilft weiter. Wünsche frohe Weihnachten.