Wo verrechne ich mich bei Erwartungswertberechnung?

Aufrufe: 98     Aktiv: 20.08.2022 um 12:35

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Hallo, ich habe gerade hinsichtlich Roulette ein wenig rumgerechnet und dabei ungleiche Ergebnisse gekriegt.

Konkret will ich den Kostensprsamsten Weg wissen, wie man es hinkriegt, einen Betrag X einmal "umzusetzen".

Heißt, es wurden insgesamt X euro beim Roulette gesetzt.

(Randinfo: beim Roulette gibt es 37 felder, 1 mal die Null, 18 schwarz, 18 weiß).

Daher habe ich mir anfangs überlegt:

Angenommen, man setzt einen Betrag a auf schwarz, einen betrag a auf rot und 0.1 auf null.

in dieser runde setzt man also insgesamt 2a+0.1 euro.

die wahrscheinlichkeiten sind also P(r)=P(s)=18/37 und P(n)=1/37.

Damit müsste der Erwartungswert

f(a)=18/37*(2*a-(2a+0.1))+18/37*(2*a-(2a+0.1))+1/37*(36*0.1-(2a+0.1)) betragen.

Was nach dutzenden Vereinfachungen die Form

f(a)=  -0.1/37 -2a/37

(Wolfram alpha bestätigt dies so)

Nun ging ich hin und habe gesagt, sei a doch mal 0.1 (das heißt also wir setzen jeweils 0.1 auf rot, schwarz und null).

ergibt -0.1/37 -2/37*0.1=-0.0081

 

Das heißt also, wenn wir 3*0.1=0.3 euro benutzen zum zocken, verlieren wir dabei 0.0081.

30 cent gesetzt und unter 1 cent verloren.

 

Soweit so gut.

Nun könnte man das Ganze aber viel simpler kriegen:

Wir betrachten den erwartungswert wenn wir einfach auf alle 3 optionen den gleichen betrag a setzen:

E(a)=18/37*(2a-3a)+18/37*(2a-3a)+1/37*(36a-37a)

=18/37*(-a)+18/37*(-a)+1/37*(-a)=(-a)

das heißt, wenn wir 3*a einsetzen, verlieren wir dabei a.

wenn wir mit a=0.1 arbeiten, heißt das,

wir setzen 30 cent und verlieren 10 cent, also ziemlich genau 1/3 wie man es erwarten würde.

 

Bei der rehcnerei oben kamen wir bei 30 cent aber auf einen verlust von ca 1 cent, also 1/30 statt 1/3.

oben muss irgendwo ein rechenfehler sein, aber nur wo?

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In der letzten Rechnung muss anstelle von $(36a-37a)$ stehen: $(36a-3a)$. Einsatz ist ja $3a$, nicht $37a$.
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Okay, DAS ist jetzt wirklich das Letzte was ich erwartet habe.
Habe zwanghaft in der 1. Rechnung den Fehler gesucht weil das 1/3 in der 2. Rechnung so überzeugend klang.

Dabei war das 2. falsch, was natürlich sehr gut ist für mich.

bei der 2. Rechnung müsste dann also
18/37*(2a-3a)+18/37*(2a-3a)+1/37*(36a-3a)
=2*18/37*(-a)+1/37*(33a)
=-36/37*(a)+33/37*a
=-3/37*a

womit ich mit a=0.1 dann auch auf diese -0.0081 komme.

Danke! :-)
  ─   densch 20.08.2022 um 12:32

Gut. Bitte Frage dann als beantwortet abhaken.
Übersichtlicher kann man das mit LaTeX schreiben. Und übersichtlicher rechnen, indem man den Einsatz einmal als ganzes subtrahiert und nicht in drei Klammern verteilt.
  ─   mikn 20.08.2022 um 12:35

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