Trigonometrische Gleichung

Aufrufe: 755     Aktiv: 06.05.2020 um 21:48
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cosx + 0,5 cos2x =0 Ich bin wie folgt vorgegangen und komme zu keiner korrekten Lösung. cosx + 0,5 (2*cos^2x-1)=0 Von Cos2x abgeleitet aus den Additionstheoremen. cos^2x + cosx -0,5 = 0 Anschließend habe ich substituiert. Z^2 + z - 0,5 =0 Mit der Mitternachtsformel kommen hier 2 Werte für z heraus. X1 und X2 habe ich anschließend über den arccos ausgerechnet. Wenn ich nun aber die Werte in die Gleichung für x einsetze kommt als Endergebnis keine 0 heraus. (Auch bei Lösungen x2=-x1) Ich wirklich sehr verwirrt, da meiner Meinung nach die obere Rechnung zum Ziel führen sollte. Wahrscheinlich habe ich aber einen dummen Denkfehler. Ich bedanke mich jetzt schon mal für die Hilfe gerne auch ein komplett neuer Ansatz zur Lösung der Gleichung.
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Was hast du denn als Lösung bekommen? Prinzipiell schaut dein Weg richtig aus.   ─   anonym179aa 05.05.2020 um 21:50
Z1= 0,3660254038
Z2=-1,366025404 -> kein Cosinuswert

Arccos (0,3660254038) = +/-1,196061894 (wegen x2=-x1)

Das zumindest spuckt der Taschenrechner aus. Beim Einsetzen jedoch kommt es wie bereits erwöhnt nicht zu dem Ergebnis 0.   ─   andre_ue 05.05.2020 um 22:02
Also mit \(x_{1,2}=\pm\arccos(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) \) kommt bei mir schon Null raus. Übrigens wäre die vollständige Lösung \( x_{1,2}=2\pi n\pm\arccos(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) \).   ─   anonym179aa 05.05.2020 um 22:58
Okay ich schau nach der Arbeit nochmal nach, wo mein Fehler ist. Ich bedanke moch und gebe dann heute Abend nochmal kurz Rückmeldung.   ─   andre_ue 06.05.2020 um 06:42
Also ich komme nach dem Anwenden der Mitternachtsformel auf folgende Werte:
z1= \frac{-1+/sqrt{3}/ {2}\
z2= -\frac{1+/sqrt{3}/{2}\
Nehme ich nun den arccos ( Taschenrechner auf RAD) von z1 und setzte diesen in die Gleichung ein, kommt bei mir weder bei x1 noch x2 0 (Taschenrechner auf RAD beim Einsetzten)heraus.
Beim einsetzten von x1 jedoch erhälte ich näherungsweise einen Wert 0.
Ich bitte um einen ausfühlrichen Rechenweg, denn ich hänge hier wirklich fest und finde meinem Fehler nicht.   ─   andre_ue 06.05.2020 um 19:38
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Wo ist denn das Porblem. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen z_1=0,366 und z_2=-1,366, wobei letztere entfällt, das der cosinus immer betragsmäßig unter 1 liegt. z_1 liefert mit der arccos-Funktion den Winkel x=68,53° und das stimmt doch wohl.

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