Hey,

das empirische Quantil für eine geordnete Liste berechnet sich durch folgende 2 Bedingungen:

1. \( n \cdot \alpha \) ist ganzzahlig: \( x_\alpha = \frac{1}{2} (x_{n\cdot \alpha} + x_{n\cdot \alpha +1}) \)

2. \( n \cdot \alpha \) ist nicht ganzzahlig: \( x_\alpha = x_{\lfloor n\cdot \alpha + 1\rfloor} \)

Da eben \( 13 \cdot 0,3 \) nicht ganzzahlig ist, nimmt man die 2. Gleichung. Da dort die Abrundungsfunktion steht, rundest du die 4,9 auf 4 ab. Entsprechenend ist das 4. Element deiner Liste das 30%-Quantil, also die 33. Bei  \( \alpha = 0,3096723 \) ist der Index \( \alpha \cdot n + 1= 5,02 \). Entsprechend der Abrundungsfunktion rundest du also auf 5 ab und das 5. Element deiner Liste gibt das entsprechende Quantil an. Das wäre hier demzufolge die 34.

Man kann sich das auch an der Bedeutung des Quantils überlegen. Das Quantil bezieht sich ja auf die Verteilungsfunktion an und gibt den Wert an, so dass die Wahrscheinlichkeit unterhalb dieses Wertes zu liegen eben genau der Wahrscheinlichkeit \( \alpha \) entspricht. Du hast folgende relative Häufigkeiten in deiner Stichprobe, aus der sich Verteilungskurve definieren lässt:

\( h_13(33) = \frac{4}{13} \approx 0,3077 \)

\( h_13(34) = \frac{3}{13} \approx 0,2308 \)

\( h_13(35) = \frac{2}{13} \approx 0,1538 \)

Aufgrund der diskreten Verteilung (du hast nur ganzzahlige Werte) hast du eine Treppenstufenfunktion, die eben bei 33, 34, 35, ... einen Sprung macht. Die entsprechenden relativen Häufigkeiten addieren sich dabei auf. Du kannst erkennen, dass du mit Wahrscheinlichkeit \( \alpha = 0,3 \) eben nur dann unterhalb des Quantilwertes liegst, wenn der eben 33 beträgt. Entsprechende Argumentation führt dann auch zum Quantil von 34 im Falle von  \( \alpha = 0,3096723 \), da dort bereits der Sprung in der Verteilungskurve vorlag.