Newton-Verfahren

Aufrufe: 182     Aktiv: 11.02.2024 um 13:18

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eine funktion f(x) difi. als f(x) = In(x²) 
i) wie die "Newton-Form" für diese Funktion aussieht
ii) das Newton-Verfahren zu verwenden, um die Nullstelle von f(x) zu finden, und als Startwert x = 1/2 zu verwenden
iii) Es soll ein Programm geschrieben werden, das das Newton-Verfahren darstellt.
vi) wie und ob das Newton-Verfahren für f(x) �(�)konvergiert, wenn es durch beliebige x �xangewendet wird.

meine Lösung / 
i) 

die erste Ableitung f´(x) = 2/x

ii)  konvergiert die Methode nach 5 Iterationen zum Wert x = 1
Iteration x1 = 0,84657
Iteration x2 = 0,98758
Iteration x3 = 0,99992
Iteration x4 = 1,0000 gerundet
Iteration x5 = 1,0
Das Ergebnis zeigt, dass das Newton-Verfahren auch für die korrigierte Funktion schnell gegen die Nullstelle x = 1 konvergiert.

vi) die Konvergenz des Newton-Verfahrens für f(x)�(�)=ln⁡(�2) nur garantiert, wenn der Startwert x�0 nahe bei 1 liegt. Für Startwerte nahe bei Null oder sehr große Werte kann das Verfahren scheitern oder zu einem falschen Ergebnis konvergieren.

iii)

# Python program to demonstrate Newton's method

import numpy as np

def newton_method(f, df, x0, max_iter=10, tol=1e-6):
    """
    Implements Newton's method to find the root of a function.

    Parameters:
    f: function, the function for which we are finding the root
    df: function, derivative of f
    x0: float, initial guess for the root
    max_iter: int, maximum number of iterations
    tol: float, tolerance for convergence

    Returns:
    xn: float, the estimated root of the function
    """
    xn = x0
    for n in range(max_iter):
        fxn = f(xn)
        dfxn = df(xn)
        if abs(dfxn) < tol:
            print(f"Derivative too small at iteration {n}.")
            return xn
        xn_next = xn - fxn/dfxn
        if abs(xn_next - xn) < tol:
            print(f"Converged to {xn_next} after {n+1} iterations.")
            return xn_next
        xn = xn_next
    print(f"Exceeded maximum iterations. Last approximation is {xn}.")
    return xn

# Define the function f(x) and its derivative df(x) for f(x) = ln(x^2)
def f(x):
    return np.log(x**2)

def df(x):
    return 2/x

# Apply Newton's method starting from x0 = 0.5
initial_guess = 0.5
root = newton_method(f, df, initial_guess)

root

Ich weiß nicht ob meine Lösung richtig und vollständig!
kann jemand es nachsehen bitte 
danke
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gefragt

Punkte: 48

 

Auch hier: Aufgabenstellung im Original liefern.   ─   mikn 11.02.2024 um 12:40

Die fragen sind hand geschrieben es gab keine beschreibung.. die sind wichtig aber nicht völlständig. ich versuche die Idee zu verstehen   ─   abdull 11.02.2024 um 12:54
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2 Antworten
1
Sieht gut aus. Habe mir Dein Programm angesehen und kein Fehler gefunden.
Dein Programm konvergiert recht schnell, was dafür spricht, dass Du das Newtonverfahren korrekt programmiert hast.
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geantwortet

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Dein Programm konvergiert recht schnell, was dafür spricht, dass Du das Newtonverfahren korrekt programmiert hast.
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