Aufstellen von bijektiven Funktionen

Aufrufe: 846     Aktiv: 08.04.2022 um 15:50

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Seien a, b, c, d ∈ R mit a < b und c < d. Man bestimme drei verschiedene bijektive Funktionen f,g,h mit
f,g,h : [a,b] → [c,d].

Hallo, ich wäre dankbar über jede Hilfe bei obiger Aufgabe :). 
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Student, Punkte: 10

 

Fällt dir gar kein Beispiel für eine bijektive Funktion ein? Weißt du was der Begriff bedeutet?   ─   mathejean 06.04.2022 um 10:48

An sich ja, ich weiß aber nicht wie ich nun so eine Funktion bestimme. Ein Beispiel wäre sehr hilfreich.   ─   user71ad1d 06.04.2022 um 11:29
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2 Antworten
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Überlege dir mal Eines:

Wenn ich dir sage, x Werte sollen aus [0,1] und y Werte aus  [2,4] sein, wie könnte man da eine Abbildung finden die die x Werte auf y Werte abbildet , ohne dass ein x oder y Wert doppelt benutzt wird?

(Also dass zu jedem x wert genau 1 bestimmter y wert gehört und umgekehrt genauso?)

 

Da würde ich doch erst mal gucken dass ich in den richtigen Wertebereich komme.

Sei x aus [0,1]. wenn ich x+2 betrahcte, ist das schon mal aus [2,3]. so "verschiebst" du den Bereich.

[0,1] hat eine "Breite" von 1.

Wenn du es irgendwie auf bspw. [0,2] abbilden willst, kommst du nicht umher da etwas zu "skalieren".

Wenn also x aus [0,1] ist, dann ist zwangsläufig 2x aus [0,2].

 

Wie hilft dir all das bei deiner Aufgabe?

Nun, man könnte ganz banal hingehen und sagen:

Sei x aus [a,b]. Der Bereich ist offensichtlich b-a groß.

Der Ausdruck (x-a)/(b-a) ist dann zwangsläufig im intervall [0,1] denn (x-a) ist aus [0,b-a].

und durch das *(b-a) (was eben die Länge des bereichs ist) kommst du auf einen Bereich [0,1].

mittels y=(x-a)/(b-a) würdest du also vom bereich [a,b] in den Bereich [0,1] abbilden.

 

Du willst aber am Ende [c,d] haben, einen bereich der Breite d-c, der als kleinesten Wert c beinhaltet.

Mit y=(x-a)/(b-a)*(d-c) bilden wir also auf den Bereich [0,d-c] ab (denn (x-a)/(b-a) war in [0,1] und das *(d-c) streckte den bereich nur auf die länge d-c).

Länge des Bereichs passt also, nun muss er nur noch so verschoben werden dass er bei c beginnt.

Das kriegen wir mit dem Gesamtausdruck:

y=(x-a)/(b-a)*(d-c) +c hin.

Sieht nicht schön aus, daher machen wir es etwas hübscher:

y=(x-a)*(d-c)/(b-a) +c

=x* [(d-c)/(b-a)] +[c-a*(d-c)/(b-a)]

Wie du, wenn du nur mal die eckigen klammern anguckst, siehst ist dass das eine lineare Funktion ist.

d.h. da steht sowas wie y=x*konstante1+konstante2

zu zeigen dass die bijektiv ist, ist wahrlich nicht schwer.

 

Damit hast du mal schon eine bijektive Funktion, die ist in einem gewissen Sinn die Einfachste (wären die intervalle statt aus R aus n, dann würde diese funktion die kleinste zahl aus a,b auf die kleinste zahl in c,d abbilden, die zweitkleinste auf die zweitkleinste, usw.)

 

 

 

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Student, Punkte: 304

 

Vielen Dank, das war sehr hilfreich! :)   ─   user71ad1d 08.04.2022 um 15:50

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Wenn Du wirklich verstanden hast, was bijektiv bedeutet, dann am einfachsten so:
Zeichne ein x-y-Koordinaten-System, markiere den Bereich, der durch die beiden Intervalle vorgegeben ist, durch die vier Eckpunkte. Dann zeichne den Graphen einer bijektiven Funktion ein. Möglichst einfach natürlich. Danach (nicht zuerst!) überlege Dir die Funktionsvorschrift dazu.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.23K

 

Wir haben bisher nur die Definition von bijektiven Funktionen gelernt. Mir fällt es sehr schwer nun aus diesen Intervallen bijektive Funktionen zu bestimmen. Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch. Mit konkreten Beispielen (Lösungen mit Erklärung) wäre mir sehr geholfen.   ─   user71ad1d 07.04.2022 um 11:22

Was für bijektive Funktionen kennst du denn? Das lässt sich dann auch auf die Intervalle übertragen   ─   mathejean 07.04.2022 um 11:50

Ja habe ich. Und ich denke schon, dass es sehr hilfreich wäre, wenn ich es anhand einer Beispiel Lösung nachvollziehen kann. Aber anscheinend kann ich hier auf keine Hilfe mehr hoffen, da die Aufgaben heute abgegeben werden sollen…   ─   user71ad1d 07.04.2022 um 18:48

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