Überlege dir mal Eines:

Wenn ich dir sage, x Werte sollen aus [0,1] und y Werte aus  [2,4] sein, wie könnte man da eine Abbildung finden die die x Werte auf y Werte abbildet , ohne dass ein x oder y Wert doppelt benutzt wird?

(Also dass zu jedem x wert genau 1 bestimmter y wert gehört und umgekehrt genauso?)

Da würde ich doch erst mal gucken dass ich in den richtigen Wertebereich komme.

Sei x aus [0,1]. wenn ich x+2 betrahcte, ist das schon mal aus [2,3]. so "verschiebst" du den Bereich.

[0,1] hat eine "Breite" von 1.

Wenn du es irgendwie auf bspw. [0,2] abbilden willst, kommst du nicht umher da etwas zu "skalieren".

Wenn also x aus [0,1] ist, dann ist zwangsläufig 2x aus [0,2].

Wie hilft dir all das bei deiner Aufgabe?

Nun, man könnte ganz banal hingehen und sagen:

Sei x aus [a,b]. Der Bereich ist offensichtlich b-a groß.

Der Ausdruck (x-a)/(b-a) ist dann zwangsläufig im intervall [0,1] denn (x-a) ist aus [0,b-a].

und durch das *(b-a) (was eben die Länge des bereichs ist) kommst du auf einen Bereich [0,1].

mittels y=(x-a)/(b-a) würdest du also vom bereich [a,b] in den Bereich [0,1] abbilden.

Du willst aber am Ende [c,d] haben, einen bereich der Breite d-c, der als kleinesten Wert c beinhaltet.

Mit y=(x-a)/(b-a)*(d-c) bilden wir also auf den Bereich [0,d-c] ab (denn (x-a)/(b-a) war in [0,1] und das *(d-c) streckte den bereich nur auf die länge d-c).

Länge des Bereichs passt also, nun muss er nur noch so verschoben werden dass er bei c beginnt.

Das kriegen wir mit dem Gesamtausdruck:

y=(x-a)/(b-a)*(d-c) +c hin.

Sieht nicht schön aus, daher machen wir es etwas hübscher:

y=(x-a)*(d-c)/(b-a) +c

=x* [(d-c)/(b-a)] +[c-a*(d-c)/(b-a)]

Wie du, wenn du nur mal die eckigen klammern anguckst, siehst ist dass das eine lineare Funktion ist.

d.h. da steht sowas wie y=x*konstante1+konstante2

zu zeigen dass die bijektiv ist, ist wahrlich nicht schwer.

Damit hast du mal schon eine bijektive Funktion, die ist in einem gewissen Sinn die Einfachste (wären die intervalle statt aus R aus n, dann würde diese funktion die kleinste zahl aus a,b auf die kleinste zahl in c,d abbilden, die zweitkleinste auf die zweitkleinste, usw.)