Natürliche Zahlen, Definition

Erste Frage Aufrufe: 223     Aktiv: 15.10.2023 um 23:11

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Guten Tag, 

ich bin auf eine Erklärung für die Notwendigkeit einer modernen Definition von N gestoßen und möchte sicher gehen, dass ich richtig begreife:

Die natürliche Zahl n ist die gemeinsame Eigenschaft aller Mengen mit n Elementen.
Es liegt daher nahe, n als Äquivalenzklasse unter der Relation "bijektive Korrespondenz" zu definieren. 
Dies funktioniert allerdings nicht in der Mengenlehre, da eine solche Klasse keine Menge wäre (Russel's paradox). 

Für mich bedeutet dies, die Menge aller Mengen zu nehmen und dann in disjunkte Äqu.-Klassen zu teilen, jede mit n Elementen. 
Dabei erfüllt die Bijektion die Anforderungen an die Äqu.-Relation, n wird n zugeordnet, und 2 und 3 beispielsweise stünden nicht in Relation. 

Da aber die Menge aller Mengen nicht existiert in der naiven ML., sei es nicht möglich und erfordert eine moderne Definition.
Dass aber eine Äqu.-Klasse keine Menge sein kann, erschließt sich mir nicht, wenngleich ich die Definition einer echten Klasse kenne.

Ich bin sehr dankbar für eine Rückmeldung!
VG

 

 

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Ich denke, das von Neumann-Modell der natürlichen Zahlen wäre eine zeitgemäße Definition, welche in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre dank des Unendlichkeitsaxioms Bestand hätte.

Ich habe hier ein bisschen gegoogelt, und man findet dann tatsächlich was zu diesem Thema, z.B. hier: https://math.stackexchange.com/questions/3115820/why-is-the-definition-of-cardinal-number-as-the-set-of-all-sets-equivalent-to-a?noredirect=1&lq=1

Da kommt ein Zitat vor, in dem von einem "universal set" die Rede ist, also der Allmenge, die alle Mengen enthält (wenn ich das richtig verstanden habe). Diese "Allmenge" aber ist keine Menge, aber eine sog. Klasse. Man kann nun nicht nur Mengen in Äquivalenzklassen zerteilen, sondern auch Klassen, und somit auch die Allmenge. Nimmt man als Äquivalenzrelation nun
    A~B = es gibt eine bijektive Abbildung zwischen A und B
dann ist jede dieser Äquivalenzklassen eine Kardinalität, und manche Kardinalitäten sind endlich und entsprechen damit einer natürlichen Zahl.

Das Problem mit der Definition natürlicher Zahlen mit diesen Äquivalenzklassen ist also m.E. nicht das Russell-Paradoxon. Das Problem ist vielmehr, dass diese Äquivalenzklasse, die z.B. die Zahl 5 repräsentieren soll, vielleicht gar nicht existieren könnte. Es gibt vielleicht gar keine 5-elementigen Mengen. Siehe z.B. hier 

Dass das Wort "Äquivalenzklassen" mit "klassen" endet, lässt vermuten, dass Äquivalenzklassen stets echten Klassen, also keine Mengen sind. Äquivalenzklassen können aber sehr wohl Mengen sein.

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Hallo Simon,

Danke für deine Antwort.
Ja, Neumanns Definition ist mir bekannt und kommt ohne Mengen mit der „gemeinsamen Eigenschaft n“ aus.
Die Frage war, ob die Begründung für ihre Notwendigkeit von mir richtig verstanden wurde, so wie ich es unter dem ersten Absatz ausführte.
Stimmt das?
Und warum kann eine Äquivalenzklasse, wenn sie keine echte Klasse ist, keine Menge sein?
Oder anders, warum muss die Klasse sein?
  ─   wender 12.10.2023 um 22:35

Was ist jetzt genau deine Frage? Außerdem verwundert mich die Aussage „…. warum kann eine Äquivalenzklasse, … , keine Menge sein?“
Ich kenne zwar nicht Russels Paradoxon, welches man vielleicht kurz verlinken könnte wenn man sich drauf bezieht (so wie das @simon mit Neumanns Modell gemacht hat), aber ich kenne folgende Definition einer Äquivalenzklasse:

Sei $M$ eine Menge und $R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation über $M$. Für $x\in M$ bezeichne man mit \[[x]:=\{y\in M | (x,x)\in R\}\]
die Äquivalenzklasse von $x$.

D.h, $[x]$ ist natürlich eine Menge, die Menge aller $y\in M$, die mit $x$ in Relation stehen.
  ─   maqu 12.10.2023 um 23:58

Habe meine Antwort erweitert. Alle Angaben ohne Gewähr - im Grenzbereich zwischen Philosophie und Mathematik bin ich leider nicht so firm.   ─   m.simon.539 13.10.2023 um 02:39

Dankeschön noch einmal,
deine Antwort hilft mir dabei, an der richtigen Stelle weiterzulesen; wie so oft, führt eine neue Erkenntnis zu weiterer Neugier.
  ─   wender 15.10.2023 um 23:11

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Es gibt sehr wohl moderner Definitionen von natürlichen Zahlen ohne Mengenaxiome. In den letzten Jahrzehnten es hat sich in Theorie durchgesetzt Kategorien als Grundlage von Mathematik zu machen. Diese kann man auch axiomatisch einführen, irgendwo hat es MacLane aufgeschrieben. Man kann dann sogenannte elementar Topos definieren = elementarer Ort um Mathe zu machen, die Definition ist etwas lang, schauen besser im Wikipedia. Hier kannst du nachlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Topos_(Mathematik)

eine Kategorie wie Mengen lässt sich dann als elementartopos mit drei Eigenschaften(well-Pointed, AC, Natural Numbers object) definieren. Diese Eigenschaft sind im Anhang von categories for The working mathematican erklärt.

Zu deiner Frage: In Mengen wir betrachten die Menge \(\Sigma\) mit allen endlichen Mengen. Dann ist \(\Sigma/\cong\) ein mengentheoretisches Modell von natürlichen Zahlen.
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