Kommt ein bischen darauf an, was du schon weißt oder kannst. Aber hier mal ein kleiner Leitfaden: 

1)Zunächst stellst du fest, dass der abgeschlossene Kreis $S$ kompakt ist und deine Funktion stetig. Daraus folgt, dass es ein Min/Max gibt und dieses auch in $S$ angenommen wird. 

2)Beschränken wir uns auf das Innere von $S$, also $S'=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 <2 \}$. Wir suchen nun alle kritischen Punkte, also alle Punkte, mit $\nabla f(x,y)=0$. Brechne sie! Merke dir diese und schreibe sie dir auf, insbesondere ihre Funktionswerte davon.

3)Parametrisiere den Kreisrand als eine Funktion einer Variable, e.g. eines Winkels:

$$ c:[0,2 \pi] \to \partial S, \phi \to 2(\sin(\phi),\cos(\phi))$$.

Jetzt ist $$f \circ c:[0,2\pi] \to \mathbb{R}$$

wieder ein 1-dimensionales Extremwertproblem. Löse es und finde die kritischen Punkte! Merke dir diese und schreibe sie dir auf, insbesondere ihre Funktionswerte davon. Alternativ kannst du hier auch Lagranmultiplikatoren nutzen, wenn du sie kennst. Bringe hierfür das Problem in die Form  $$\min f(x)=0, \\ \text{so dass }h(x)=x^2+y^2-2=0 $$ und finde einen Punkt $\bar{x}$ und einen Lagranmultiplikator $\lambda$, so dass 

$$\nabla f(\bar{x})=\lambda \nabla h (\bar{x})$$ gilt. Analog für $\max$. Merke dir diese und schreibe sie dir auf, insbesondere ihre Funktionswerte davon. In jedem Fall kennst du jetzt die Extremwerte auf dem Rand $\partial S$ von $S$.

4)Vergleiche alle so erhaltenen Funktionswerte von den kritischen Punkten auf dem Rand und im Inneren. Vergleiche diese! Der Kleinste ist dein Minimum, der Größte dein Maximum.