Globale Extrema berechnen auf einer beschränkten Menge S (Kreis)

Erste Frage Aufrufe: 303     Aktiv: 05.06.2023 um 20:15

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Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe b) helfen? Ich weiss nicht wie ich auf die globalen Extrempunkte komme. 

b)
Bestimmen Sie (Schritt für Schritt und nachvollziehbar) die globalen Extremalpunkte der Funktion f (x, y) = x2 + y2 + 3y 1 auf der Menge
S = { (x, y) R2 | x2 + y2 2 }

Ich hoffe jemand kann mir helfen. Bei der Prüfung wird eine ähnliche Aufgabe drankommen, deshalb wäre es sehr wichtig.

Vielen Dank
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Kommt ein bischen darauf an, was du schon weißt oder kannst. Aber hier mal ein kleiner Leitfaden: 

1)Zunächst stellst du fest, dass der abgeschlossene Kreis $S$ kompakt ist und deine Funktion stetig. Daraus folgt, dass es ein Min/Max gibt und dieses auch in $S$ angenommen wird. 

2)Beschränken wir uns auf das Innere von $S$, also $S'=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 <2 \}$. Wir suchen nun alle kritischen Punkte, also alle Punkte, mit $\nabla f(x,y)=0$. Brechne sie! Merke dir diese und schreibe sie dir auf, insbesondere ihre Funktionswerte davon.

3)Parametrisiere den Kreisrand als eine Funktion einer Variable, e.g. eines Winkels:

$$ c:[0,2 \pi] \to \partial S, \phi \to 2(\sin(\phi),\cos(\phi))$$.

Jetzt ist $$f \circ c:[0,2\pi] \to \mathbb{R}$$

wieder ein 1-dimensionales Extremwertproblem. Löse es und finde die kritischen Punkte! Merke dir diese und schreibe sie dir auf, insbesondere ihre Funktionswerte davon. Alternativ kannst du hier auch Lagranmultiplikatoren nutzen, wenn du sie kennst. Bringe hierfür das Problem in die Form  $$\min f(x)=0, \\ \text{so dass }h(x)=x^2+y^2-2=0 $$ und finde einen Punkt $\bar{x}$ und einen Lagranmultiplikator $\lambda$, so dass 

$$\nabla f(\bar{x})=\lambda \nabla h (\bar{x})$$ gilt. Analog für $\max$. Merke dir diese und schreibe sie dir auf, insbesondere ihre Funktionswerte davon. In jedem Fall kennst du jetzt die Extremwerte auf dem Rand $\partial S$ von $S$.

4)Vergleiche alle so erhaltenen Funktionswerte von den kritischen Punkten auf dem Rand und im Inneren. Vergleiche diese! Der Kleinste ist dein Minimum, der Größte dein Maximum.

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Diese Parametrisierung des Rands ist unnötig und zu kompliziert. Löse die Nebenbedingung nach $x^2$ auf und setze das in die Funktionsgleichung ein, dann hast du ebenso ein eindimensionales Problem.   ─   cauchy 05.06.2023 um 19:20

@cauchy: Spielt keine Rolle. Denke du hast sicherlich auch gemerkt, dass $x^2+y^2=2$ und $(f \circ c )(\phi)=1+2\cos(\phi)$ auf dem Rand ist? Das mag in dem Fall in diesem Fall funktionieren, dass man direkt nach $x^2$ umsellt, aber sobald ein Term $\neq x^2$ auftaucht, sollte man doch lieber systematisch vorgehen. Das Ziel dieser Antwort war, dass der Fragy auch ähnliche Aufgaben ab jetzt immer lösen kann nach diesem Rezept.   ─   crystalmath 05.06.2023 um 19:55

Und nun kennt es den Trick, dass eine Parametrisierung nicht immer notwendig ist.   ─   cauchy 05.06.2023 um 20:15

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